[論文レビュー] Associated varieties and Higgs branches (a survey)

Tomoyuki Arakawa|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本調査は、4次元 $N=2$ 超共形場理論（SCFT）のヒッグス分岐と、頂点代数に付随する多様体の間の対応関係を確立し、4次元 $N=2$ SCFT $\mathcal{T}$ のヒッグス分岐 $Higgs_{\mathcal{T}}$ が、Beem-Lemos-Liendo-Peelaers-Rastelli-van Rees写像を介して構成された頂点代数 $\Phi(\mathcal{T})$ の付随多様体 $X_{\Phi(\mathcal{T})}$ に同型であることを示している。この関係は、頂点代数理論を介してシュール指標のモジュラー不変性を示し、代数的構造を用いてヒッグス分岐とシュール指標を定義する数学的枠組みを提供する。

ABSTRACT

Associated varieties of vertex algebras are analogue of the associated varieties of primitive ideals of the universal enveloping algebras of semisimple Lie algebras. They not only capture some of the important properties of vertex algebras but also have interesting relationship with the Higgs branches of four-dimensional $N=2$ superconformal field theories (SCFTs). As a consequence, one can deduce the modular invariance of Schur indices of 4d $N=2$ SCFTs from the theory of vertex algebras.

研究の動機と目的

• 4次元 $N=2$ SCFTのヒッグス分岐と、それに付随する頂点代数の多様体との間の数学的対応関係を確立すること。
• 4次元 $N=2$ SCFT $\mathcal{T}$ のヒッグス分岐 $Higgs_{\mathcal{T}}$ が、その対応する頂点代数の付随多様体 $X_{\Phi(\mathcal{T})}$ に等しいことを示すこと。
• 頂点代数理論を活用して、このようなSCFTのシュール指標がモジュラー不変であることを証明すること。
• 物理的定義を避けて、頂点代数を用いた完全な代数的定義によってヒッグス分岐とシュール指標を定義すること。

提案手法

• 頂点代数 $V$ のZhuの $C_2$-代数 $R_V = V/C_2(V)$ を用いて、$X_V = \operatorname{Specm}(R_V)$ として付随多様体 $X_V$ を定義し、これにポincare代数構造を備える。
• Beem-Lemos-Liendo-Peelaers-Rastelli写像 $\Phi$ を用いて、各4次元 $N=2$ SCFT $\mathcal{T}$ に対して頂点代数 $\Phi(\mathcal{T})$ を対応させ、その特徴が $\mathcal{T}$ のシュール指標と一致することを示す。
• $\mathcal{T}$ が $\Phi(\mathcal{T}) = L_k(\mathfrak{g})$ で、レベル $k = -h^\vee/6 - 1$ のとき、付随多様体 $X_{L_k(\mathfrak{g})}$ が、単純な極小軌道の閉包 $\overline{\mathbb{O}_{\text{min}}}$ に等しいことを証明する。
• Drinfeld-Sokolov還元のBRSTコホモロジーを用いて、$X_{H_{DS,f}^0(V)} = X_V \cap \mathcal{S}_f$ を示し、頂点代数構造とスロドウスキー断片との関係を結ぶ。
• 4次元SCFTに由来する頂点代数の準リッス（quasi-lisse）性を用いて、付随多様体が有限次元であり、特徴のモジュラー不変性が保証されることを示す。
• アフィン代数および特殊レベルにおける $W$-代数の証拠に基づき、すべての4次元 $N=2$ SCFTに対して $Higgs_{\mathcal{T}} = X_{\Phi(\mathcal{T})}$ であると予想する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元 $N=2$ SCFTのヒッグス分岐は、$\Phi$ 写像による対応する頂点代数の付随多様体と同型であるか？
• RQ2 4次元 $N=2$ SCFTのシュール指標のモジュラー不変性は、その対応する頂点代数の表現論から導けるか？
• RQ3 4次元 $N=2$ SCFTから生じる頂点代数は、シンプレクティックな付随多様体を持つ特別なクラスの準リッス頂点代数を形成するか？
• RQ4 物理的不変量たるヒッグス分岐を、頂点代数の付随多様体を用いた完全な代数的定義で定義できるか？
• RQ5 $W$-代数とDrinfeld-Sokolov還元は、ヒッグス分岐をポincare多様体として実現するために果たす役割は何か？

主な発見

• レベル $k = -h^\vee/6 - 1$ における単純なアフィン頂点代数 $L_k(\mathfrak{g})$ の付随多様体 $X_{L_k(\mathfrak{g})}$ は、$\mathfrak{g} = D_4, F_4, E_6, E_7, E_8$ のとき、ヒッグス分岐 $\overline{\mathbb{O}_{\text{min}}}$ に同型であり、ヒッグス分岐がポincare多様体として明示的に実現されることを示している。
• 4次元 $N=2$ SCFTのシュール指標は、その対応する頂点代数 $\Phi(\mathcal{T})$ の特徴のモジュラー性（特にリッスまたは準リッス性）のおかげで、モジュラー不変である。
• $\Phi$ 写像は、4次元 $N=2$ SCFTを、ユニタリでも整数次元でもない頂点代数に写像する。特に、整数次元アフィン頂点代数を含まない。
• 普遍 $W$-代数 $\mathscr{W}^k(\mathfrak{g},f)$ の付随多様体 $X_{\mathscr{W}^k(\mathfrak{g},f)}$ は、スロドウスキー断片 $\mathcal{S}_f = f + \mathfrak{g}^e$ に同型であり、$W$-代数と極小軌道の間の幾何的関係を確立する。
• 予想 $Higgs_{\mathcal{T}} = X_{\Phi(\mathcal{T})}$ は、ヒッグス分岐が付随多様体を用いた代数的定義で記述可能であることを示唆し、物理的不変量に対する新しい数学的枠組みを提供する。
• アドミッスブルなアフィン頂点代数から $W$-代数を構成することで、すべての例外的 $W$-代数、特に最小系列の主 $W$-代数が得られ、頂点代数的手法によりその有理型が確認されている。