[論文レビュー] Associating vectors in $\CC^n$ with rank 2 projections in $\RR^{2n}$: with applications

Peter G. Casazza, Desai Cheng|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2017

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ひとこと要約

本稿は、ℂⁿ に属するベクトルと ℝ²ⁿ におけるランク2射影の間の対応関係を確立し、ノルム、内積、位相再構成、融合フレーム、等角性といった主要な性質を複素数と実数の設定の間で移行可能にする。中心的な貢献は、エディディンの定理（実数における位相再構成に関する）の複素数版を確立し、長年の未解決問題を解消したことである。さらに、ℂⁿ における相互に偏りのない基底（MUBs）、等角フレーム、融合フレームが、存在可能性や構成可能性が向上した同様の構造へと ℝ²ⁿ に写像されることを示している。

ABSTRACT

We will see that vectors in $\CC^n$ have natural analogs as rank 2 projections in $\RR^{2n}$ and that this association transfers many vector properties into properties of rank two projections on $\RR^{2n}$. We believe that this association will answer many open problems in $\CC^n$ where the corresponding problem in $\RR^n$ has already been answered - and vice versa. As a application, we will see that phase retrieval (respectively, phase retrieval by projections) in $\CC^n$ transfers to a variation of phase retrieval by rank 2 projections (respectively, phase retrieval by projections) on $\RR^{2n}$. As a consequence, we will answer the open problem: Give the complex version of Edidin's Theorem \cite{E} which classifies when projections do phase retrieval in $\RR^n$. As another application we answer a longstanding open problem concerning fusion frames by showing that fusion frames in $\CC^n$ associate with fusion frames in $\RR^{2n}$ with twice the dimension. As another application, we will show that a family of mutually unbiased bases in $\CC^n$ has a natural analog as a family of mutually unbiased rank 2 projections in $\RR^{2n}$. The importance here is that there are very few real mutually unbiased bases but now there are unlimited numbers of real mutually unbiased rank 2 projections to be used in their place. As another application, we will give a variaton of Edidin's theorem which gives a surprising classification of norm retrieval. Finally, we will show that equiangular and biangular frames in $\CC^n$ have an analog as equiangular and biangular rank 2 projections in $\RR^{2n}$.

研究の動機と目的

• ℂⁿ のベクトルと ℝ²ⁿ におけるランク2射影の間の数学的対応関係を確立し、ノルムと内積構造を保存する。
• ℝⁿ における射影による位相再構成に関するエディディンの定理の複素数版を求めるという、長年の未解決問題を解決する。
• ℂⁿ における融合フレーム、相互に偏りのない基底（MUBs）、等角／二重角のタイトフレームが、存在可能性や構成可能性が向上した同様の構造を ℝ²ⁿ に写像することを示す。
• ℂⁿ における位相再構成が、ℝ²ⁿ におけるランク2射影による位相再構成の変種と同値であることを示し、新たな分類結果を導出する。

提案手法

• 各ベクトルを ℂⁿ から ℝ²ⁿ への標準的等長埋め込みを用いてランク2射影に表現し、内積とノルムを保存する。
• 恒等式 |⟨v, w⟩| = ‖v‖‖Pᵥw′‖ および tr(PᵥPᵥ) = 2|⟨v, w⟩|² を用いて、内積とノルムの情報を実射影空間へ移行する。
• この対応関係を位相再構成に適用し、ℂⁿ における位相再構成が、ℝ²ⁿ におけるランク2射影による位相再構成と同値であることを示す。
• 幾何的議論と射影対応関係を組み合わせることで、エディディンの定理の複素数版を証明し、位相再構成を実現するための必要十分条件を確立する。
• フレームの枠組みを融合フレームおよび等角／二重角タイトフレームへ拡張し、タイト性と角の性質がこの対応関係のもとで保存されることを示す。
• この対応関係を用いて、任意の m ≥ n に対して、ℝ²ⁿ における m 個の2次元部分空間のタイト融合フレームを構成し、融合フレーム理論における長年の未解決問題を解決する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℂⁿ における位相再構成は、ℝ²ⁿ におけるランク2射影を用いた実数版として特徴付けられるか？
• RQ2 実数の場合と同様に、射影が ℂⁿ で位相再構成を実行する条件を特徴づける、エディディンの定理の複素数版が存在するか？
• RQ3 ℂⁿ における相互に偏りのない基底（MUBs）は、ℝ²ⁿ における相互に偏りのないランク2射影の族に置き換え可能であり、より豊富な構成が可能になるか？
• RQ4 ℂⁿ における等角および二重角タイトフレームは、提案された写像のもとで、ℝ²ⁿ における等角および二重角タイト融合フレームに対応するか？
• RQ5 この対応関係を用いて、任意の m ≥ n に対して、ℝ²ⁿ における m 個の2次元部分空間のタイト融合フレームの存在を保証できるか？

主な発見

• 本稿は、エディディンの定理の複素数版を提供する：ℂⁿ における射影族が位相再構成を実行するための必要十分条件は、それに対応する ℝ²ⁿ におけるランク2射影が、射影の和集合の生成する部分空間に関して幾何的条件を満たすことである。
• 任意の m ≥ n に対して、ℝ²ⁿ における m 個の2次元部分空間のタイト融合フレームが存在する。これは、融合フレーム理論における長年の未解決問題を解決する。
• ℂⁿ における相互に偏りのない基底（MUBs）は、ℝ²ⁿ における相互に偏りのないランク2射影族に対応し、実数のMUBsに比べてはるかに多くの族の構成が可能になる。
• ℂⁿ における等角および二重角タイトフレームは、ℝ²ⁿ における等角および二重角タイト融合フレームに写像され、角構造とタイト性が保存される。
• この対応関係により、ℂⁿ におけるノルム再構成の像を用いて ℝ²ⁿ におけるノルム再構成が可能となり、射影フレームワークから新たな分類結果が導出される。
• ℝ²ⁿ における等角ランク2射影族の数は、ℝⁿ における等角直線の数を上回り、より豊かな構造を提供する。例えば、ℝ¹⁴ では15個の等角族が存在するが、等角直線は28本にとどまる。