[論文レビュー] Associative algebras satisfying a semigroup identity

David M. Riley, Mark C. Wilson|ArXiv.org|Feb 6, 1998

Advanced Topics in Algebra参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、無限体上の結合代数が円演算 $x*y = x + y + xy$ に関して半群恒等式を満たすこと、その乗法的半群で減少恒等式を満たすこと、および関連する Lie 代数がエンゲル条件を満たすことの同値性を確立している。有限生成代数の場合、これらすべての条件は上部 Lie べき零性に同値であり、無限体上の結合代数における半群恒等式の Lie 理論的特徴付けを提供する。

ABSTRACT

Denote by (R,.) the multiplicative semigroup of an associative algebra R over an infinite field, and let (R,*) represent R when viewed as a semigroup via the circle operation x*y=x+y+xy. In this paper we characterize the existence of an identity in these semigroups in terms of the Lie structure of R. Namely, we prove that the following conditions on R are equivalent: the semigroup (R,*) satisfies an identity; the semigroup (R,.) satisfies a reduced identity; and, the associated Lie algebra of R satisfies the Engel condition. When R is finitely generated these conditions are each equivalent to R being upper Lie nilpotent.

研究の動機と目的

• 無限体上の結合代数が円演算 $x*y = x + y + xy$ に関して半群恒等式を満たす条件を特徴づける。
• 半群恒等式の条件を代数の Lie 代数構造に関連付ける。
• 半群恒等式、乗法的半群における減少恒等式、および関連 Lie 代数におけるエンゲル条件の間の同値性を確立する。
• 有限生成代数の場合、これらすべての条件が上部 Lie べき零性に同値であることを示す。

提案手法

• 結合代数 $R$ に円演算 $x*y = x + y + xy$ を定義し、新たな半群 $(R,*)$ を構成する。
• $(R,*)$ の多項式恒等式、特に減少恒等式に注目して解析する。
• Lie 代数的技法を用いて、$(R,*)$ の恒等式を $R$ の Lie ブラケット構造、特にエンゲル条件に関連付ける。
• $(R,*)$ における半群恒等式、$(R,.)$ における減少恒等式、および $R$ の Lie 代数におけるエンゲル条件の間の同値性を確立する。
• Lie 理論および非可換環論の結果を応用し、$R$ がこれらの恒等式を満たす場合の構造を特徴づける。
• 有限生成な $R$ に対して、3つの条件がすべて $R$ が上部 Lie べき零であることと同値であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 円演算 $x*y = x + y + xy$ で定義される半群 $(R,*)$ が多項式恒等式を満たすのはどのような条件下か？
• RQ2 $(R,*)$ における半群恒等式は、代数 $R$ の Lie 代数構造とどのように関係するか？
• RQ3 乗法的半群 $(R,.)$ における減少恒等式と、代数 $R$ の Lie 理論的性質との間にはどのような関係があるか？
• RQ4 代数 $R$ の Lie 代数におけるエンゲル条件が、$(R,*)$ に半群恒等式が存在することと同値となるのはいつか？
• RQ5 有限生成な結合代数の場合、半群恒等式が上部 Lie べき零性を意味するのはいつか？

主な発見

• $(R,*)$ が多項式恒等式を満たすことは、$(R,.)$ が減少恒等式を満たすことと同値である。
• $(R,*)$ が恒等式を満たすことは、$R$ の関連 Lie 代数がエンゲル条件を満たすことと同値である。
• 無限体上の有限生成な結合代数では、$(R,*)$ における恒等式、$(R,.)$ における減少恒等式、および Lie 代数におけるエンゲル条件の3つが同値である。
• 有限生成の場合、これらの条件は $R$ が上部 Lie べき零であることとも同値である。
• 本稿は、結合代数における半群恒等式の Lie 理論的特徴づけを提供し、非可換環論と Lie 代数構造を結びつける。
• これらの結果は特定に無限体上で成り立ち、同値性は円演算の代数的性質および基礎となる Lie 代数の構造に依存する。