[論文レビュー] Associative and Lie deformations of Poisson algebras

Elisabeth Remm|arXiv (Cornell University)|May 13, 2011

Advanced Topics in Algebra参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Markl-Remm恒等式を満たす単一の非結合的積としての変形を扱うことで、ポアソン代数の変形を再解釈し、アソシエイティブおよびリー代数の変形を共通のコホモロジー的枠組みで統一する。主な貢献は、一般の変形を支配する理論としてポアソンコホモロジーを特定し、ポアソン＝リヒネロヴィッチおよびポアソン＝ホッホシュילדコホモロジーを特別な場合として回収することであり、歪対称および対称導分作用素による、コチェーンがポアソンコバウンダリー作用素に関して閉じているかどうかの明確な特徴付けを提供する。

ABSTRACT

Considering a Poisson algebra as a non associative algebra satisfying the Markl-Remm identity, we study deformations of Poisson algebras as deformations of this non associative algebra. This gives a natural interpretation of deformations which preserves the underlying associative structure and we study deformations which preserve the underlying Lie algebra.

研究の動機と目的

• ポアソン代数の変形を、Markl-Remm恒等式を満たす単一の非結合的積の変形として扱うことで、統一的な枠組みを提供すること。
• アソシエイティブな変形（積を保存）およびリー代数の変形（括弧積を保存）を、単一の変形理論内での特別な場合として回収すること。
• アソシエイティブな変形のパrameter空間として、ポアソン＝ホッホシュILDコホモロジーを定義し、その性質を検討すること。
• 明示的なコバウンダリー作用素と分解公式を通じて、ポアソンコホモロジー、ポアソン＝リヒネロヴィッチコホモロジー、ポアソン＝ホッホシュILDコホモロジーの関係を明確にすること。

提案手法

• Markl-Remm恒等式を用いて、アソシエイティブな積とリー括弧を1つの積に統合した非結合的代数としてポアソン代数を表現する。
• 対称的および歪対称的部品を含む明示的な式を用いて、多重線形コチェーン上に作用するコバウンダリー作用素 δⁿ_P を用いてポアソンコホモロジー複体を定義する。
• 射影作用素 Φ_{W_n} と Φ_{V_n} をそれぞれ用いて、コチェーン φ をその対称的部品 φ_s と歪対称的部品 φ_a に分解する。
• スカラー積に関する導分作用素としての L_{1,n} と L_{H,n} を導入し、歪対称的コチェーンがアソシエイティブな積に関して導分である条件を特徴付ける。
• 対称的コチェーンがリー n-導分であることを特徴付ける作用素 ∇ⁿ を定義し、δ_Hⁿφ_s = 0 が成り立つのは ∇ⁿφ_s = 0 のときに限ることと関連付ける。
• δ_Pⁿφ = 0 が成り立つのは δ_Cⁿφ_a = 0 かつ L_{1,n}φ_a = 0 のときに限ることを示すことで、閉じたポアソンコチェーンが互換性のある導分に対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アソシエイティブな積とリー括弧の両方が変形される場合、ポアソン代数の変形をどのように一様に記述できるか？
• RQ2 Markl-Remm恒等式は、単一の非結合的代数構造内でのアソシエイティブおよびリー変形の統一に果たす役割は何か？
• RQ3 ポアソン＝リヒネロヴィッチコホモロジーとポアソン＝ホッホシュILDコホモロジーは、完全なポアソンコホモロジーとどのように関係しているか？
• RQ4 歪対称的または対称的多重線形コチェーンが、それぞれアソシエイティブまたはリー積に関して導分である条件は何か？
• RQ5 コチェーンがポアソンコホモロジー複体において閉じているという明確な代数的条件は何か？

主な発見

• ポアソン代数は、Markl-Remm恒等式を満たす非結合的代数として等価に記述可能であり、これにより統一的な変形理論が可能になる。
• ポアソンコホモロジー複体は一般の変形を支配する。δ_Pⁿφ = 0 が成り立つのは、φ の歪対称的部品 φ_a に対して δ_Cⁿφ_a = 0 かつ L_{1,n}φ_a = 0 が成り立つときである。
• アソシエイティブな変形はポアソン＝ホッホシュILDコホモロジーによってパrameter化され、δ_Hⁿφ_s = 0 が成り立つのは ∇ⁿφ_s = 0 のときに限る。これは φ_s がリー n-導分であることを意味する。
• ポアソン＝リヒネロヴィッチコホモロジーは、リー括弧のみが変形される特別な場合として現れ、δ_Cⁿφ_a = 0 かつ L_{1,n}φ_a = 0 に対応する。
• コチェーンの対称的部品 φ_s に対して δ_Hⁿφ_s = 0 が成り立つのは ∇ⁿφ_s = 0 のときに限る。これは、対称的コチェーンに対してポアソン＝ホッホシュILDコホモロジーがポアソンコホモロジーと一致することを示す。
• 完全なポアソンコホモロジーは、歪対称的部品におけるチェバルレフ＝アイレンベルクコバウンダリーの消滅および導分条件 L_{1,n}φ_a = 0 の同時成立によって特徴付けられる。