[論文レビュー] Associative Geometries. I: Torsors, linear relations and Grassmannians

Wolfgang Bertram, Michael Kinyon|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2009

Advanced Topics in Algebra参考文献 17被引用数 20

ひとこと要約

この論文は、捩れ収着体（torsors）、線形関係、グラスマン多様体構造を介して、結合的代数から導かれるものとして、Lie群と一般化された射影幾何を統合する幾何的枠組み「結合的幾何」を導入する。主な貢献は、補完的部分空間の交わりにおける群的演算を記述する五項演算子Γであり、これは非可換かつ基点に依存しない方法で、アフィン群および線形群構造を一般化するものである。

ABSTRACT

We define and investigate a geometric object, called an associative geometry, corresponding to an associative algebra (and, more generally, to an associative pair). Associative geometries combine aspects of Lie groups and of generalized projective geometries, where the former correspond to the Lie product of an associative algebra and the latter to its Jordan product. A further development of the theory encompassing involutive associative algebras will be given in subsequent work.

研究の動機と目的

• 結合的代数に対応する幾何的対象（「結合的幾何」）を定義すること。これは、Lie群がLie代数に対応するのと同様のものである。
• 括弧積（commtator bracket）から生じるLie群構造の側面と、Jordan積から生じる一般化された射影幾何の側面を、一つの枠組み内で統合すること。
• 部分空間上の群的演算を、基点に依存しない捩れ収着体に基づく形式的体系として開発すること。五項演算子Γを用いる。
• 補完的部分空間と射影子の相互作用を介して、グラスマン多様体上の古典的アフィン群および線形群構造を一般化すること。
• 今後の中間的理論の基盤を築くこと。特に、対合的結合的代数を含む広範な理論の構築を目的とする。

提案手法

• 補完的部分空間EとFの交わりC^E ∩ C^F上で定義される五項演算子Γ(X,E,Y,F,Z) = (P^E_X − P^Z_F)(Y) を定義し、群的演算を符号化する。
• 捩れ収着体（主同次空間）を用いて、選択された単位元に依存しない形にし、群構造の代わりに三項演算を導入する。
• 五項演算子Γが半捩れ収着体（semtorsor）の公理を満たすことを確立し、固定された単位元を必要としない群的挙動を一般化する。
• 基点Yを固定することで、C^E ∩ C^F 上に自然な非可換群構造を構成し、射影子を用いて乗法を定義する。
• 標準埋め込みを介して、結合的対（associative pairs）との関係を確立し、任意の結合的対が、ある冪等元を持つ結合的代数から生じることを示す。
• 集合AとB間の関係の対称的半捩れ収着体を、基礎的な例として用いる。合成は(rst) = r ∘ s⁻¹ ∘ tで定義される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 結合的代数から、Lie群と射影幾何の両方の構造を統合する幾何的対象をどのように構成できるか？
• RQ2 五項演算子Γは、補完的部分空間の交わりにおける群的演算をどのように符号化するか？
• RQ3 捩れ収着体と半捩れ収着体は、非可換な状況下で、基点に依存しない群的演算の形式的体系をどのように提供するか？
• RQ4 グラスマン多様体の交わりC^E ∩ C^Fは、どのようにアフィン空間と一般線形群の両方を一般化するか？
• RQ5 この構成は、結合的対の代数的構造およびその標準埋め込みと、どのように関係するか？

主な発見

• EおよびFの両方の補完的部分空間であるC^E ∩ C^Fの集合は、空または空でないが、基点Yを固定すれば自然な非可換群構造をもつ。
• 五項演算子Γ(X,E,Y,F,Z)は、C^E ∩ C^F 上で群演算を定義し、非自明さにもかかわらず結合則および逆元の公理が成り立つ。
• E = Fのとき、構造はC^E上の古典的アフィン空間構造に還元され、Γは射影子の和に等しくなる。
• EとFが互いに補完的であるとき、C^E ∩ C^FはEからFへの同型写像を介して一般線形群Gl(E)と同一視される。
• Γは半捩れ収着体の公理を満たし、固定された単位元を必要としない群的挙動を一般化する。
• 任意の結合的対は、標準埋め込みを介して、冪等元を持つ結合的代数から生じる。幾何的構造は、このような対から構築される。