[論文レビュー] Asymmetries in the Shanks-Renyi Prime Number Race

Greg Martin|ArXiv.org|Oct 9, 2000

Analytic Number Theory Research参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、8および12を法とする素数のレースにおける非対称性を調査し、平方でない剰余（例：8を法として3、5、7）が、平方剰余（例：8を法として1）よりも素数の数え上げにおいて一貫して優位であることを示している。この偏りの強さはさまざまである。GRHおよびLIのもとで明示的公式を用い、π(x; q, a)の順序付けに関する対数的密度を定量化することで、特定の不等式（例：π(x; 8, 3) > π(x; 8, 5) > π(x; 8, 7)）が、ディリクレ指標の寄与に相関があるため、他の不等式よりも起こりやすいことが明らかになった。

ABSTRACT

It has been well-observed that an inequality of the type $π(x;q,a) > π(x;q,b)$ is more likely to hold if $a$ is a non-square modulo $q$ and $b$ is a square modulo $q$ (the so-called ``Chebyshev Bias''). For instance, each of $π(x;8,3)$, $π(x;8,5)$, and $π(x;8,7)$ tends to be somewhat larger than $π(x;8,1)$. However, it has come to light that the tendencies of these three $π(x;8,a)$ to dominate $π(x;8,1)$ have different strengths. A related phenomenon is that the six possible inequalities of the form $π(x;8,a_1) > π(x;8,a_2) > π(x;8,a_3)$ with $\{a_1,a_2,a_3\}=\{3,5,7\}$ are not all equally likely---some orderings are preferred over others. In this paper we discuss these phenomena, focusing on the moduli $q=8$ and $q=12$, and we explain why the observed asymmetries (as opposed to other possible asymmetries) occur.

研究の動機と目的

• アーベル群における平方でない剰余が、漸近的に等しいにもかかわらず、素数の数え上げ関数において平方剰余を常に上回る理由を説明すること。
• 与えられた法qに対して、π(x; q, a)の異なる順序付けの相対的確率を定量化すること。
• すべての剰余が非平方であっても、特定の三重順序付け（例：π(x; 8, 3) > π(x; 8, 5) > π(x; 8, 7)）が他の順序付けよりも確率が高い理由を調査すること。
• 2項比較を超えて、小さな法における多項式レースへのチェビシェフの偏りの理解を拡張すること。
• ディリクレL関数の零点の線形独立性（LI）が、素数の数え上げ関数の順序付けの分布に与える影響を調査すること。

提案手法

• GRHのもとでψ(x; q, a)の明示的公式を用い、ディリクレL関数の非自明な零点の和を含む漸近展開を導出する。
• 平均からのゆらぎを調べるために、正規化誤差項E(x; q, a) = (log x)/√x × (φ(q)π(x; q, a) − π(x))を定義する。
• リウヴィル関数と指標和を用い、E(x; q, a)をγに関する和Σ xiγ / (1/2 + iγ)に結びつける。この和は、振動成分をモデル化する。
• GRHおよびLIを仮定し、π(x; q, a1) > ··· > π(x; q, ar)を満たすxの割合を測る対数的密度δq;a1,...,arを定義する。
• 三つ組(a1, a2, a3)における指標値χ(ai)の相関構造を分析し、特定の順序付けが好まれる理由を説明する。特に、各指標に対して、少なくとも2つの値が等しい場合にその傾向が顕著になる。
• 部分和分および誤差項の推定を用い、θ(x; q, a)とπ(x; q, a)を関連づけ、導出された密度式が漸近的に有効であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ、qを法とする互いに素なa, bに対してπ(x; q, a)とπ(x; q, b)が漸近的に等しいにもかかわらず、非平方剰余が素数のレースで一貫してリードするのか？
• RQ2 8を法として{3, 5, 7}に属するaに対して、π(x; q, a)の異なる三重順序付けの相対的確率は何かを決定するのは何なのか？
• RQ3 指標値χ(ai)の間の相関が、素数のレースにおける観察された非対称性にどのように影響するのか？
• RQ4 すべての関係する剰余が非平方であっても、なぜπ(x; 8, 3) > π(x; 8, 5) > π(x; 8, 7)のような順序付けが他のものよりも起こりやすいのか？
• RQ5 r ≥ 4の場合に、|π(x; q, ai) − π(x; q, aj)|の最大差のlim infの振る舞いは何か？特に、r ≥ 4のときの振る舞いについて。

主な発見

• GRHおよびLIのもとで、π(x; 8, 3) > π(x; 8, 5) > π(x; 8, 7)の順序付けの対数的密度δ8;3,5,7は正であり、この順序付けは正の密度で現れることが示された。
• 素数のレースにおける非平方剰余が平方剰余を上回る偏りは、定量的にも強さに差があり、例えばπ(x; 8, 3)がπ(x; 8, 1)を上回る傾向は、π(x; 8, 5)やπ(x; 8, 7)が上回る傾向よりも強い。
• 8を法として{3, 5, 7}における三重レースは非対称である。6通りの順列すべてが等確率であるわけではない。非対称性の原因は、各ディリクレ指標χ mod 8に対して、χ(3), χ(5), χ(7)のうち少なくとも2つが等しいことにある。
• δq;a,b > 1/2であることは、aが非平方でbが平方剰余であるときに限り成り立ち、これは普遍的なチェビシェフの偏りの存在を確認する。
• GRHおよびLIのもとで、π(x; q, a) = π(x; q, b)となるxの集合の対数的密度は0であるため、このような等式はまれである。
• 著者は、r ≥ 4の場合に、|π(x; q, ai) − π(x; q, aj)|の最大差のlim infが無限大であると予想しているが、r ≤ 3の場合は0である。これはr = 4で段階的転移が起こることを示唆している。