[論文レビュー] Asymmetry in Hilbert's fourth problem

Juan-Carlos Álvarez Paiva|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2013

Advanced Differential Geometry Research参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、ヒルベルトの第4問題の非対称版を解決し、コンパクトなランク1の対称空間（例えば実射影空間や球面）上に存在する任意の測地線的に可逆なゾル・フィンスラー計量が、可逆なゾル計量と完全形式の和であることを証明している。証明は、ホルムズ＝トマス体積、ブレン＝ミンコフスキーの不等式、および弱いブラシュケ予想を組み合わせており、この意味で、全射影空間上に定義された非可逆的射影フィンスラー計量は自明であることが示されている。

ABSTRACT

In the asymmetric setting, Hilbert's fourth problem asks to construct and study all (non-reversible) projective Finsler metrics: Finsler metrics defined on open, convex subsets of real projective $n$-space for which geodesics lie on projective lines. While asymmetric norms and Funk metrics provide many examples of essentially non-reversible projective metrics defined on proper convex subsets of projective $n$-space, it is shown that any projective Finsler metric defined on the whole projective $n$-space is the sum of a reversible projective metric and an exact 1-form.

研究の動機と目的

• 実射影n次元空間上での非可逆的射影フィンスラー計量を特徴付けることにより、ヒルベルトの第4問題の非対称版を解決すること。
• コンパクトなランク1の対称空間上に存在する測地線的に可逆なフィンスラー計量が、可逆計量と完全形式の成分に分解可能かどうかを特定すること。
• ベルクの2次元結果を高次元およびより一般的な経路幾何に拡張すること。
• 体積と双対性の技法を用いて、対称性と閉1形式の観点からゾル・フィンスラー計量の構造的分類を確立すること。
• ホルムズ＝トマス体積とシンプレクティック幾何が、リーマン的でない設定におけるフィンスラー幾何において果たす役割を明確にすること。

提案手法

• シンプレクティック変換に関して不変であるため、ホルムズ＝トマス体積をシンプレクティック不変量として用い、フィンスラー計量を比較する。
• 双対コボールバンドルを用いて、接空間上の非対称な凸体の体積を比較するため、ブレン＝ミンコフスキーの不等式を適用する。
• フィンスラー計量 $ L $ の対称化を $ \bar{L} = (L + L \circ a)/2 $ と定義する。ここで $ a $ は接ベクトルを反転する写像である。
• ウィーナー、ヤン、レーツニコフによって証明済みの弱いブラシュケ予想を用い、射影的に同値なゾル計量のホルムズ＝トマス体積が等しいことを示す。
• クランピンの補題を用いて、可逆なフィンスラー計量に任意の1形式を加えても、測地線の可逆性が保たれるのは、その形式が閉形式である場合に限ることを示す。
• 弱いブラシュケ予想による体積の等しさと、ブレン＝ミンコフスキー不等式における等号条件を組み合わせることで、計量がその対称化から完全形式の差異を生じることを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなランク1の対称空間に微分同相である多様体上に存在する測地線的に可逆なゾル・フィンスラー計量は、すべて可逆計量と完全形式の和に分解可能か？
• RQ2 全実射影n次元空間上に非自明な非可逆的射影フィンスラー計量は存在するか？
• RQ3 射影的同値関係において、ホルムズ＝トマス体積は非可逆計量と可逆計量のゾル計量を区別できるか？
• RQ4 可逆性がない状況において、フィンスラー計量の対称化が測地線構造をどの程度保つのか？
• RQ5 ブレン＝ミンコフスキーの不等式は、接バンドル上のフィンスラー計量の非対称性をどの程度制約するか？

主な発見

• 微分同相的にコンパクトなランク1の対称空間に同相な多様体上に存在する測地線的に可逆なゾル・フィンスラー計量は、可逆なゾル計量と完全形式の和である。
• フィンスラー多様体のホルムズ＝トマス体積は、その対称化の体積以下であり、等号が成り立つのは、計量がその対称化から1形式の差異を生じる場合に限る。
• $ \mathbb{R}P^n $ 上の射影フィンスラー計量に関しては、非可逆な例はすべて、可逆計量に完全形式を加えたものとして得られるため、この意味で自明である。
• 測地線的に可逆なフィンスラー計量の対称化は、元の計量と射影的に同値であり、再パrametrizationを除いて測地線の経路を保つ。
• 余接バンドルにおけるブレン＝ミンコフスキー不等式の等号条件は、各点における双対凸体が平行移動を除いて対称的であることを示し、1形式への分解に至る。
• 対称化計量に加えられた1形式は、多様体の位相的性質により閉形式（したがって完全形式）であることが、クランピンの補題による測地線の可逆性の要件を満たす。