[論文レビュー] Asymptotic almost-equivalence of abstract evolution systems

Felipe Álvarez, Juan Peypouquet|ArXiv.org|Apr 14, 2009

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、バナッハ空間における抽象的発展系が漸近的にほぼ同値な振るまいを示すための条件を確立し、系の性質に応じてほぼ軌道が弱収束または強収束することを証明している。もし二つの発展系が漸近的にほぼ同値であるならば、それらの軌道は同一の長期的収束振るまいを共有することを示しており、リプシッツ連続性の仮定を必要としない一般の発展系へ、半群理論の結果を拡張している。

ABSTRACT

We study the asymptotic behavior of almost-orbits of abstract evolution systems in Banach spaces with or without a Lipschitz assumption. In particular, we establish convergence, convergence in average and almost-convergence of almost-orbits both for the weak and the strong topologies based on the behavior of the orbits. We also analyze the set of almost-stationary points.

研究の動機と目的

• 抽象的発展系のほぼ軌道の漸近的挙動を、バナッハ空間内で分析すること。
• 二つの発展系が漸近的にほぼ同値（AAE）であるための条件を確立し、それらが同一の長期的挙動を共有することを保証すること。
• 半群を超えて、一般の発展系へ、強収束および弱収束の結果を拡張すること、リプシッツ連続性の仮定がなくても可能であることを示すこと。
• ほぼ定常点の集合を特徴付け、それらが漸近的ダイナミクスにおける役割を明らかにすること。
• 漸近的同値性を用いて、連続時間系と離散的アルゴリズムを比較するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 正確な軌道を超える収束解析を一般化するために、lim_{t→∞} sup_{h≥0} ||u(t+h) - U(t+h,t)u(t)|| = 0 で定義されるほぼ軌道の概念を用いる。
• 時間平均測度 μ_t と弱収束・強収束基準を適用して、ほぼ軌道の漸近的挙動を分析する。
• 弱位相または強位相における μ_t-平均での一様収束を保証するため、仮説 H_u および w-H_u を導入する。
• 発展系における ω-極限の不変性を活用し、ほぼ軌道の極限点が U に関して保存されることを示す。
• ほぼ軌道の収束と、それらの時間平均の収束との間の同値性を確立する。
• 摂動解析と有界性条件を用いて、相互に小さな差異を有する系が漸近的にほぼ同値であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 抽象的発展系のほぼ軌道が、バナッハ空間内で強収束または弱収束するための条件は何か？
• RQ2 二つの発展系がどのようにして漸近的にほぼ同値とみなされ、それらの長期的挙動にどのような影響を与えるか？
• RQ3 ほぼ定常点は、発展系の漸近的ダイナミクスにおいて果たす役割は何か？
• RQ4 半群に適用可能な収束結果を、非自己同型および非リプシッツ連続な発展系へ拡張できるか？
• RQ5 摂動は発展系の漸近的挙動にどのように影響を与え、いつそれらを同値とみなせるか？

主な発見

• 発展系のほぼ軌道が強収束（または弱収束）するための必要十分条件は、対応する時間平均測度 μ_t が平行移動に関して一様収束することである。
• 二つの発展系が漸近的にほぼ同値であるならば、片方の系の任意の軌道は、他方の系のほぼ軌道であり、それらの収束挙動は同一である。
• 自己同型の収縮発展系において、任意の連続的ほぼ軌道は、リプシッツ連続性の仮定がなくても一様連続である。
• ほぼ軌道の ω-極限集合は発展系に関して不変である：x* が極限点であれば、t_n - s_n → ∞ を満たす適切な列 {t_n}, {s_n} に対して U(t_n,s_n)x_n → x* となる。
• 系が M-リプシッツであり、極限点 x* が存在するならば、U(t_n,s_n)x* → x* が強収束する。これは極限点の安定性を示している。
• 本稿は、数値離散化、摂動、不適切に定式化された問題など、収束が粘性項に類似した項によって誘導される状況に適用可能な、一般の漸近的同値性の分析枠組みを提供している。