[論文レビュー] Asymptotic Analysis for Stochastic Volatility: Edgeworth Expansion

Masaaki Fukasawa|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 11被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、エッジワース展開を用いたエルゴディック拡散過程に対する、高速平均回帰的確率的ボラティリティモデルのヨーロピアン・オプション価格評価の漸近展開の有効性を確立している。ブラック・ショールズ価格の周囲で一様収束性を証明し、誤差の明確な推定値を提示する。先行研究と比較して、積分可能性およびエルゴディック性の条件を弱めた。また、オプション価格評価における特異的摂動公式の厳密な基礎を提供する。

ABSTRACT

The validity of an approximation formula for European option prices under a general stochastic volatility model is proved in the light of the Edgeworth expansion for ergodic diffusions. The asymptotic expansion is around the Black-Scholes price and is uniform in bounded payoff func- tions. The result provides a validation of an existing singular perturbation expansion formula for the fast mean reverting stochastic volatility model.

研究の動機と目的

• 高速平均回帰的確率的ボラティリティモデルに対する既存の特異的摂動展開公式の厳密な妥当性を検証すること。
• 先行の漸近展開結果で要請されていた積分可能性およびエルゴディック性の条件を弱めること。
• ペイオフ関数の正則性に依存しない、近似誤差の明確な次数推定を提供すること。
• 再生的アプローチを用いて、幾何的混合性を満たさないエルゴディック拡散過程に対してもエッジワース展開技術を拡張すること。
• ボラティリティ過程の係数に関する一般条件の下で、高速平均回帰的展開公式の非摂動的妥当性を示すこと。

提案手法

• 1次元エルゴディック拡散過程に対するエッジワース展開の再生的アプローチを採用し、従来のマーチングルまたは混合アプローチと比較して、より弱いエルゴディック性および積分可能性の仮定を可能にする。
• ヨシダのマーチングル展開理論とマリノフスキーの再生的フレームワークを組み合わせ、確率的ボラティリティ下でのロジック・プライス過程に対するエッジワース型展開を導出する。
• ロジック・アセット価格の分布に対するエッジワース展開を導出し、3次の累積量を含む補正項を含む。
• レヴィ＝カチンキン表現および特性関数解析を用いて、正規化されたログリターン過程の特性関数を制御する。
• 誤差項の特性関数の指数的減衰を証明することで、有界ボレルペイオフ関数全体にわたる一様収束性を確立する。
• ペトロフの補題を適用して、正規化された過程の特性関数をバインドし、弱い条件下でもエッジワース展開の有効性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高速平均回帰的確率的ボラティリティモデルに対する特異的摂動展開公式は、従来仮定されていたよりも弱い積分可能性およびエルゴディック性条件のもとでも有効であるか？
• RQ2 ペイオフ関数の滑らかさに依存しない、近似誤差の明確な次数推定が得られるか？
• RQ3 幾何的混合性を満たさないプロセス（例えば、ゆっくり平均回帰的ボラティリティモデルなど）に対しても、エルゴディック拡散過程に対するエッジワース展開は適用可能か？
• RQ4 展開における補正項が、ボラティリティ過程の係数および不変測度の観点から明示的に特徴付けられるか？
• RQ5 本手法は、PDEに基づくまたはマーチングルに基づく先行手法と比較して、一般性および誤差制御の観点でどのように向上しているか？

主な発見

• 一般の確率的ボラティリティモデルにおけるヨーロピアン・オプション価格の近似公式が、エッジワース展開を用いて厳密に妥当性が確認され、有界ペイオフ関数全体にわたる一様収束性が得られた。
• 漸近展開の誤差が、ペイオフ関数の正則性に依存しない O(1/√Σ) のオーダーであることが示された。
• 補正項は、ボラティリティ過程の不変測度および相関構造を含む関数 α として明示的に与えられ、α = 0 のときブラック・ショールズ価格が回復される。
• 本手法により、ゆっくり平均回帰的ボラティリティ過程（例えば、混合係数の多項式的減衰）を含むモデルへも拡張可能である。
• 正規化されたログリターン過程の特性関数が指数的に減衰することを示し、弱い条件下でもエッジワース展開の有効性が保証された。
• 本結果により、高速平均回帰的展開公式の非摂動的妥当性が確認され、従来の研究で示された範囲よりも広いクラスのモデルにおいてその頑健性が裏付けられた。