[論文レビュー] Asymptotic analysis for the ratio of the random sum of squares to the square of the random sum with applications to risk measures

Sophie A. Ladoucette, J. L. Teugels|ArXiv.org|Nov 3, 2005

Probability and Risk Models参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、パレート型の尾部と一般の数え上げ過程の下で、確率的平方和の比と確率的和の平方の比の漸近的分布を導出し、モーメントが無限大である場合でも標本変動係数と標本分散の漸近的解析を可能にする。主な貢献は、多様なモーメント条件と $ \mathcal{D} $-平均または $ p $-平均の数え上げ過程の下で $ T_{N(t)} $ の極限定理を確立することであり、従来の決定的結果を拡張するものである。

ABSTRACT

Let \{X_1, X_2, ...\} be a sequence of independent and identically distributed positive random variables of Pareto-type with index α>0 and let \{N(t); t\geq 0\} be a counting process independent of the X_i's. For any fixed t\geq 0, define T_{N(t)}:=\frac{X_1^2 + X_2^2 + ... + X_{N(t)}^2} {(X_1 + X_2 + ... + X_{N(t)})^2} if N(t)\geq 1 and T_{N(t)}:=0 otherwise. We derive limiting distributions for T_{N(t)} by assuming some convergence properties for the counting process. This is even achieved when both the numerator and the denominator defining T_{N(t)} exhibit an erratic behavior (\mathbb{E}X_1=\infty) or when only the numerator has an erratic behavior (\mathbb{E}X_1

研究の動機と目的

• 決定的数え上げ過程のケースを超えて、一般の数え上げ過程への $ T_{N(t)} = \frac{\sum X_i^2}{(\sum X_i)^2} $ の比の漸近的結果を拡張すること。
• 母集団分布の第一または第二モーメントが無限大である場合の標本変動係数および標本分散の極限的挙動を分析すること。
• パレート型分布の尾指数 $ \alpha $ の異なるレジームにおいて、正則変動理論を用いて $ T_{N(t)} $ の極限定理を確立すること。
• モーメント条件が満たされない保険・金融応用分野におけるリスク測度の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 正則変動関数およびラプラス変換を用いて、異なるモーメント条件の下での $ T_{N(t)} $ の漸近的挙動を分析する。
• $ \mathcal{D} $-平均および $ p $-平均の条件を数え上げ過程 $ \{N(t)\} $ に適用し、弱収束結果を導出する。
• 数え上げ過程に条件付け、正規化された和の比を分析することで、$ T_{N(t)} $ の極限分布を導出する。
• 標本変動係数との関連を $ \widehat{\mathrm{CoVar}(X)} = \sqrt{N(t)T_{N(t)} - 1} $ を用いて確立する。
• スラツキーの定理および連続マッピング定理を用いて、標本分散および変動係数の分布収束を導出する。
• 数え上げ過程の退化極限を検討し、決定的 $ N(t) $ の下でアルブレッシャーとトーゲルズ（2005年）の結果を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ X_i $ が指数 $ \alpha > 0 $ の i.i.d. パレート型分布に従い、$ N(t) $ が一般の数え上げ過程であるとき、$ T_{N(t)} = \frac{\sum_{i=1}^{N(t)} X_i^2}{(\sum_{i=1}^{N(t)} X_i)^2} $ の極限分布は何か？
• RQ2 $ \mathbb{E}[X] = \infty $ または $ \mathbb{E}[X^2] = \infty $ の場合、標本変動係数 $ \widehat{\mathrm{CoVar}(X)} $ の漸近的挙動はどのように変化するか？
• RQ3 異なるモーメント条件および一般の $ N(t) $ の下での標本分散 $ \widehat{\mathrm{D}(X)} $ の極限分布は何か？
• RQ4 数え上げ過程 $ N(t) $ が決定的ではないが、時間的に $ \mathcal{D} $-平均または $ p $-平均である場合に、結果を拡張できるか？
• RQ5 $ T_{N(t)} $ の極限分布および導出されたリスク測度が、パレート型分布の尾指数 $ \alpha $ にどのように依存するか？

主な発見

• $ \alpha > 2 $ の場合、$ \frac{t^{1-2/\alpha}}{\ell^*(t)} \left( \widehat{\mathrm{CoVar}(X)}^2 - \mathrm{CoVar}(X)^2 \right) \xrightarrow{\mathcal{D}} \frac{1}{\mu_1} \cdot \frac{W_{\alpha/2}}{\Lambda^{1-2/\alpha}} $ が $ t \to \infty $ のとき成り立つ。ここで $ \Lambda $ は $ N(t)/t $ の極限確率変数である。
• $ \mu_1 = \infty $ の場合、$ \frac{t^{1/2 - 2/\alpha}}{\ell^*(t)} \left( \widehat{\mathrm{CoVar}(X)}^2 - \mathrm{CoVar}(X)^2 \right) \xrightarrow{\mathcal{D}} 0 $ が確率的に成り立ち、退化収束を示している。
• $ \mu_4 < \infty $ の場合、$ \sqrt{t} \left( \widehat{\mathrm{D}(X)} - \mathrm{D}(X) \right) \xrightarrow{\mathcal{D}} \frac{\mathrm{N}(0, \sigma_{**}^2)}{\sqrt{\Lambda}} $ が成り立ち、$ \sigma_{**}^2 $ は4次のモーメントまでを用いて明示的に定義される。
• 一様可積分性および $ \mathbb{E}[\Lambda^{-1}] < \infty $ の下で、$ \mathbb{V}\left\{ \widehat{\mathrm{D}(X)} \right\} \sim \sigma_{**}^2 \mathbb{E}[\Lambda^{-1}] \cdot \frac{1}{t} $ が成り立ち、漸近的分散が $ 1/t $ のレートで減少することを示している。
• 同じ条件下で、標本変動係数 $ \widehat{\mathrm{CoVar}(X)} $ は一貫性があり、漸近的に不偏である。$ \mathbb{E}[\widehat{\mathrm{CoVar}(X)}] \to \mathrm{CoVar}(X) $ が成り立つ。
• 数え上げ過程 $ \Lambda $ が1に退化している場合、結果はアルブレッシャーとトーゲルズ（2005年）の決定的ケースの結果を回復する。