[論文レビュー] Asymptotic analysis for Vlasov-Fokker-Planck/compressible Navier-Stokes equations with a density-dependent viscosity

Young-Pil Choi, Jinwook Jung|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 21被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、相対エントロピー法を用いて、密度に依存する粘性を有するカップルドVlasov-Fokker-Planck/圧縮性Navier-Stokes系の流体力学的極限を確立する。強い抵抗およびブラウン運動スケーリングの下で、等温Euler方程式と密度に依存する粘性を有する圧縮性Navier-Stokes方程式から成る2相流体モデルを厳密に導出し、運動論的・流体系の弱解が極限系の強解に収束することを証明する。

ABSTRACT

We study a hydrodynamic limit of a system of coupled kinetic and fluid equations under a strong local alignment force and a strong Brownian motion. More precisely, we consider the Vlasov-Fokker-Planck type equation and compressible Navier-Stokes equations with a density-dependent viscosity. Based on a relative entropy argument, by assuming the existence of weak solutions to that kinetic-fluid system, we rigorously derive a two-phase fluid model consisting of isothermal Euler equations and compressible Navier-Stokes equations with a density-dependent viscosity.

研究の動機と目的

• 強い抵抗およびブラウン運動下での運動論的・流体系の漸近的挙動を分析すること。
• カップルドVlasov-Fokker-Planck方程式と圧縮性Navier-Stokes方程式の流体力学的極限として2相流体モデルを導出すること。
• 運動論的・流体系の弱解が極限流体系の強解に収束することを確立すること。
• 流体力学的極限の枠組み内において、圧縮性Navier-Stokes方程式に密度に依存する粘性を組み込むこと。

提案手法

• 弱解と強解の一意性原理に依拠して、流体力学的極限を分析する相対エントロピー法を用いる。
• Vlasov-Fokker-Planck方程式における抵抗項および拡散項をスケーリングする小さなパラメータεの特異摂動領域を考察する。
• エントロピー不等式とエネルギー推定を用いて、運動論的・流体解と極限流体状態との間の相対エントロピーを制御する。
• 局所可積分性と一様有界性を活用して、密度、運動量、エネルギーについて$L^p$空間における収束を分析する。
• 領域を正則領域と特異領域に分割することで、$n^\varepsilon$、$n^\varepsilon v^\varepsilon$、$n^\varepsilon |v^\varepsilon|^2$がそれらの流体的対応物に収束することを確立する。
• 圧力則$p(n) = n^\gamma$を用い、$\gamma > 0$を仮定してエネルギー推定における非線形項を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強い抵抗およびブラウン運動下で、密度に依存する粘性を有するVlasov-Fokker-Planck/圧縮性Navier-Stokes系の流体力学的極限は何か？
• RQ2 相対エントロピー法は、密度に依存する粘性およびカップルド運動論的・流体ダイナミクスを有する系へ拡張可能か？
• RQ3 運動論的・流体系の弱解は、極限の2相流体系の強解に収束するか？
• RQ4 密度に依存する粘性の存在が、極限方程式の収束速度および構造に与える影響は何か？

主な発見

• 運動論的・流体系の弱解$(f^\varepsilon, n^\varepsilon, v^\varepsilon)$は、$\varepsilon \to 0$の下で2相流体系の強解$(\rho, u, n, v)$に収束する。
• $L^1_{\text{loc}}(0,T; L^p_{\text{loc}}(\mathbb{R}^d))$において$p \in [1, \gamma]$で収束が成立し、$n^\varepsilon \to n$は$L^\gamma_{\text{loc}}$で成立する。
• 運動量$n^\varepsilon v^\varepsilon$は、$L^1_{\text{loc}}(0,T; L^1_{\text{loc}})$で強く$nv$に収束する。
• 運動エネルギー項$n^\varepsilon |v^\varepsilon|^2$は、$L^1_{\text{loc}}(0,T; L^1_{\text{loc}})$で強く$n |v|^2$に収束する。
• 正則領域と特異領域への領域分解を用い、相対エントロピーおよび圧力項の一様有界性を確立することで収束を示した。
• 極限系は、粒子密度および速度に対する等温Euler方程式と、密度に依存する粘性を有する圧縮性Navier-Stokes方程式から成る。