[論文レビュー] Asymptotic Analysis of Branched Willmore Surfaces

Yann Bernard, Tristan Rivière|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 17被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、任意の余次元において、任意の有限整数順位の点特異点をもつ分岐Willmore超曲面を、Willmore方程式の保存的再定式化を用いて分析する。特異点が1次の場合、ガウス写像は有界平均振動（BMO）を示し、高次特異点では有界であることが示され、特異点近傍における埋め込みおよび平均曲率の明示的漸近展開が得られ、曲率の可積分性に基づく明示的な除去可能特異点条件が提示される。

ABSTRACT

We consider a closed Willmore surface properly immersed in ${\R}^m$ (m>2) with square-integrable second fundamental form, and with one point-singularity of finite arbitrary integer order. Using the "conservative" reformulation of the Willmore equation introduced in a previous paper by the second author, we show that, in an appropriate conformal parametrization, the gradient of the Gauss map of the immersion has bounded mean oscillations if the singularity has order one, and is bounded if the order is at least two. We develop around the singular point local asymptotic expansions for the immersion, its first and second derivatives, and for the mean curvature vector. Finally, we exhibit an explicit condition ensuring the removability of the point-singularity

研究の動機と目的

• 任意の有限整数順位の点特異点をもつWillmore超曲面におけるガウス写像の正則性を理解すること。
• 特異点近傍における埋め込み、その微分、および平均曲率ベクトルの精密な局所漸近展開を構築すること。
• 分岐Willmore超曲面における点特異点の除去可能性を示す明示的十分条件を確立すること。
• 従来の特異点をもつWillmore超曲面に関する結果を、任意の余次元および任意の有限特異点順位に拡張すること。
• コンformalパラメトライゼーションの文脈において、特異挙動を分析するためのWillmore方程式の保存的再定式化を適用すること。

提案手法

• 任意の余次元における特異Willmore系を扱うために、[Ri1]におけるWillmore方程式の保存的再定式化を用いる。
• コンformalパラメトライゼーション技術を用いて、特異点が原点にある単位円板への問題の還元を行う。
• 重み付きSobolev空間およびBMO空間の推定を用いて、特異点近傍におけるガウス写像の正則性を分析する。
• ポテンシャル論および重み付き楕円型推定を用いて、埋め込みおよびその微分の漸近展開を導出する。
• Greenの表現公式および層電位法を用いて、解を多項式項と剰余項に分解する。
• 変数係数を伴う反復楕円型正則性議論を用いて、孤立特異点近傍における解の漸近的構造を精緻化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の余次元における分岐Willmore超曲面の点特異点（有限整数順位）近傍で、ガウス写像の正則性はどのように振る舞うか？
• RQ2 任意の順位の特異点近傍で、埋め込み、その1階および2階微分、および平均曲率ベクトルの正確な漸近展開は何か？
• RQ3 Willmore超曲面の点特異点は、どのような条件下で除去可能か？
• RQ4 Willmore方程式の保存的再定式化は、任意の余次元における高次特異点の解析をどのように支援するか？
• RQ5 コンformalパラメトライゼーションは、特異点近傍における第2基本形式および曲率の挙動をどのように制御するか？

主な発見

• 1次特異点の場合、ガウス写像の勾配は有界平均振動（BMO）空間に属し、特異点近傍での制御された振動を示す。
• 2次以上の特異点では、ガウス写像の勾配は有界であり、1次特異点の場合よりも強い正則性を示す。
• 本稿では、特異点からの距離のべき級数として、埋め込み、その1階および2階微分、および平均曲率ベクトルの明示的漸近展開を導出する。
• 漸近展開の主要項は、特異点順位を表すaと曲率の減衰に関連するnに基づく、次数が最大(a + n + 1)の調和多項式によって支配される。
• 明示的な除去可能特異点条件が確立された：曲率の重み付き$L^p$ノルムがすべての$p < rown{\infty}$で有限であれば、特異点は除去可能である。
• 漸近展開における剰余項は、任意の$\epsilon > 0$に対して$|x|^{n + r + 1 - \epsilon}$のオーダーで減衰し、重み付き$L^p$空間における勾配の成長が制御される。