[論文レビュー] Asymptotic analysis of the 2D convective Brinkman-Forchheimer equations in unbounded domains: Global attractors and upper semicontinuity

Manil T. Mohan|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2020

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 45被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、有界領域およびPoincaré領域における2次元の対流Brinkman-Forchheimer方程式に対して、グローバルかつ指数的吸引集合の存在を確立し、吸引集合の有限次元のフラクタル次元およびHausdorff次元を証明している。さらに、領域近似における吸引集合の上半連続性を示しており、Darcy項を用いて準安定性および漸近的コンパクト性の手法を用いて、非有界領域への結果の拡張を達成している。

ABSTRACT

In this work, we carry out the asymptotic analysis of the two dimensional convective Brinkman-Forchheimer (CBF) equations, which characterize the motion of incompressible fluid flows in a saturated porous medium. We establish the existence of a global attractor in both bounded (using compact embedding) and Poincaré domains (using asymptotic compactness property). In Poincaré domains, for $r=1,2$ and $3$, the estimates for Hausdorff as well as fractal dimensions of the global attractors are also obtained. We then show an upper semicontinuity of global attractors for the 2D CBF equations. We consider an expanding sequence of simply connected, bounded and smooth subdomains $Ω_m$ of the Poincaré domain $Ω$ such that $Ω_m oΩ$ as $m o\infty$. If $\mathscr{A}_m$ and $\mathscr{A}$ are the global attractors of the 2D CBF equations corresponding to $Ω$ and $Ω_m$, respectively, then we show that for large enough $m$, the global attractor $\mathscr{A}_m$ enters into any neighborhood $\mathcal{U}(\mathscr{A})$ of $\mathscr{A}$. The presence of Darcy term in the CBF equations helps us to obtain the above mentioned results in general unbounded domains also. Finally, we discuss about the quasi-stability property of the semigroup associated with the 2D CBF equations in bounded domains and establish the existence of finite fractal dimensional global as well as exponential attractors for $r\in[1,\infty)$.

研究の動機と目的

• 非有界領域およびPoincaré領域における2次元対流Brinkman-Forchheimer（CBF）方程式の解の長時間挙動を解析すること。
• コンパクト埋め込みおよび漸近的コンパクト性を用いて、有界領域およびPoincaré領域におけるグローバル吸引集合の存在を確立すること。
• Poincaré領域における r = 1, 2, 3 の場合に、グローバル吸引集合のフラクタル次元およびHausdorff次元の推定を導出すること。
• 有界部分領域を拡大する領域近似において、グローバル吸引集合の上半連続性を証明すること。
• 半群の準安定性を調査し、有界領域におけるすべての r ∈ [1, ∞) に対して有限次元の指数的吸引集合を構成すること。

提案手法

• 有界領域における吸引集合の収束性および有限次元性を示すために、準安定性手法を用いる。
• 漸近的コンパクト性の性質を適用し、Poincaré不等式を活用することで、Poincaré領域におけるグローバル吸引集合の存在を確立する。
• 有界領域におけるコンパクト埋め込みとDarcy項を用いて、結果を非有界領域へ拡張する。
• 定理3.4.11 [9]および補間不等式を用いて、フラクタル次元およびHausdorff次元の境界を導出する。
• 吸収集合上で半群のHölder連続性を分析し、指数的吸引集合の存在を確認する。
• 拡大する有界部分領域の列 Ωₘ ↗ Ω を考察し、吸引集合 Aₘ → A の上半連続性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非有界なPoincaré領域における2次元CBF方程式に対して、グローバル吸引集合は存在するか？
• RQ2 Poincaré領域における r = 1, 2, 3 の場合に、グローバル吸引集合のフラクタル次元およびHausdorff次元は何か？
• RQ3 有界部分領域を拡大する領域近似において、グローバル吸引集合は上半連続的か？
• RQ4 有界領域における2次元CBF方程式に対して、すべての r ∈ [1, ∞) に対して指数的吸引集合を構成できるか？
• RQ5 Darcy項は、非有界領域における吸引集合の結果の拡張をどのように可能にするか？

主な発見

• コンパクト埋め込みを用いた有界領域および漸近的コンパクト性を用いたPoincaré領域の両方において、グローバル吸引集合が存在する。
• r = 1, 2, 3 の場合、Poincaré領域におけるグローバル吸引集合は有限次元のフラクタル次元およびHausdorff次元を有し、準安定性手法を用いて明示的な境界が導出された。
• グローバル吸引集合は上半連続的である：十分大きな m に対して、Aₘ は Ωₘ ↗ Ω の下で A の任意の近傍 U(A) に含まれる。
• 有界領域における2次元CBF方程式の半群は準安定的であり、すべての r ∈ [1, ∞) に対して有限次元の指数的吸引集合を構成可能である。
• Darcy項（α > 0）は、非有界領域における吸引集合の存在を保証するための追加の散逸を提供するため、不可欠である。
• Hölder連続性と[9]の定理3.4.11の適用により、指数的吸引集合の存在が導かれる。