[論文レビュー] Asymptotic and coarse Lipschitz structures of quasi-reflexive Banach spaces

Gilles Lancien, M. Raja|arXiv (Cornell University)|May 1, 2017

Advanced Banach Space Theory参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、可分なバナッハ空間における粗いリプシッツ埋め込みに関する古典的結果を、擬可分空間への拡張し、$ q $-漸近的均一凸性をもつバナッハ空間が、$ p $-漸近的均一滑らかさをもつ擬可分バナッハ空間へ粗いリプシッツ埋め込みされないことを示している。$ 1 \leq q < p $ のとき、定量的な圧縮指数の上限 $ \alpha_Y(X) \leq q/p $ が、メトリックグラフ埋め込みと擬可分空間におけるバナッハ＝サックス性を用いて確立されている。

ABSTRACT

In this note, we extend to the setting of quasi-reflexive spaces a classical result of N. Kalton and L. Randrianarivony on the coarse Lipschitz structure of reflexive and asymptotically uniformly smooth Banach spaces. As an application, we show for instance, that for $1\le q

研究の動機と目的

• N. カルトンと L. ランディアナリヴォイの、可分バナッハ空間における粗いリプシッツ埋め込みに関する結果を、より広いクラスの擬可分空間へ拡張すること。
• 粗いリプシッツ埋め込みに関する定量的圧縮指数の上限 $ \alpha_Y(X) \leq q/p $ を、$ q $-漸近的均一凸（AUC）空間から $ p $-漸近的均一滑らか（AUS）擬可分バナッハ空間へ確立すること。
• 擬可分空間における $ q $-共通バナッハ＝サックス性を用いて、カールトン＝ランディアナリヴォイのグラフを通じてメトリック的障害を導出すること。
• Szlenk 指数条件 $ Sz(X,\varepsilon) \leq C\varepsilon^{-q} $ と $ r $-弱* AUC ノルムの存在を結びつけ、圧縮指数の推定値を精緻化すること。

提案手法

• 無限部分集合 $ \mathbb{M} \subset \mathbb{N} $ からの $ k $-組のインデックスに対してハミング距離をもつメトリックグラフ $ G_k(\mathbb{M}) $ を構成し、粗い埋め込みをモデル化する。
• 2-基本列 $ (x_n) $ を用いて、擬可分バナッハ空間 $ X $ へのリプシッツ写像 $ \varphi_k $ を定義し、$ \text{Lip}(\varphi_k) \leq 4\theta $ を満たすようにする。
• 定理 2.2（カールトン＝ランディアナリヴォイのグラフ直径評価の変種）を適用し、$ p $-AUS 空間への粗いリプシッツ写像に対して、一様な直径評価 $ \text{diam}(f \circ \varphi_k(G_k(\mathbb{M}_k))) \leq Ck^{1/p} $ を得る。
• 対角線的補完法を用いて、すべての $ k $ に対して必要な $ k $-組を一様に満たす無限部分集合 $ \mathbb{M} $ を構成する。
• $ \ell^q $-成長を示すノルムの大きさ $ \|\sum z_{n_j}\| \geq d k^{1/q} $ を持つ $ k $-組の点を、$ q $-共通バナッハ＝サックス性と半正規化された弱収斂列 $ (z_n) $ を用いて構成し、$ \alpha > q/p $ のとき直径評価と矛盾することを示す。
• Szlenk 指数条件 $ Sz(X,\varepsilon) \leq C\varepsilon^{-q} $ を用いて、$ X^* $ に $ r $-弱* AUC ノルムの再ノルム化が保証され、主結果を双対空間へ適用可能となるようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カルトンとランディアナリヴォイの可分 $ p $-AUS 空間における粗いリプシッツ埋め込み結果は、擬可分空間への拡張が可能か？
• RQ2 $ 1 \leq q < p $ のとき、$ q $-AUC バナッハ空間 $ X $ から $ p $-AUS 擬可分空間 $ Y $ への粗いリプシッツ埋め込みの最良圧縮指数 $ \alpha_Y(X) $ は何か？
• RQ3 擬可分空間における $ q $-共通バナッハ＝サックス性は、メトリックグラフ埋め込みとどのように作用し、粗いリプシッツ埋め込みを妨げるか？
• RQ4 Szlenk 指数条件 $ Sz(X,\varepsilon) \leq C\varepsilon^{-q} $ は、$ X^* $ に $ r $-弱* AUC ノルムの再ノルム化が存在することをどれほどまで保証するか？ そして、この性質は圧縮推定値をどのように精緻化するか？

主な発見

• $ 1 \leq q < p $ のとき、$ q $-漸近的均一凸性をもつバナッハ空間 $ X $ は、$ p $-漸近的均一滑らかさをもつ擬可分バナッハ空間 $ Y $ へ粗いリプシッツ埋め込みされず、圧縮指数 $ \alpha_Y(X) \leq q/p $ が成り立つ。
• 証明は、メトリックグラフ $ G_k(\mathbb{M}) $ の系列を構成し、$ q $-共通バナッハ＝サックス性を用いてノルムが $ \ell^q $-成長を示す点の系列を生成することで、$ p $-AUS 条件から得られる $ k^{1/p} $ の直径評価と矛盾することに依拠している。
• 対角線的補完法により、同じ無限部分集合 $ \mathbb{M} $ がすべての $ k $ に対して必要な $ k $-組を支えることが保証され、矛盾の議論が一貫性を保つ。
• この結果は双対空間へ拡張可能である：$ X^* $ が $ Sz(X,\varepsilon) \leq C\varepsilon^{-q} $ を満たすならば、$ p $-AUS 擬可分空間 $ Y $ に対して $ \alpha_Y(X^*) \leq p/q $ が成り立ち、$ q < p $ の条件が同じく成立する。
• 本研究では、擬可分空間における $ q $-共通バナッハ＝サックス性が、$ p $-AUS 空間への粗いリプシッツ埋め込みを妨げるための必要なノルム成長を生成することを示している。
• 本研究は、圧縮指数の上限 $ \alpha_Y(X) \leq q/p $ が、擬可分空間の設定においても鋭的であることを確認し、ブライガの可分空間における結果を一般化している。