[論文レビュー] Asymptotic base loci via Okounkov bodies

Sung Rak Choi, Yoonsuk Hyun+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、滑らかな射影的多様体上の擬効剤の漸近的基底被覆とその極限オクヌコフ体との直接的な関係を確立する。漸近的正則性や移動セシドリ定数といった漸近的不変量を分析することで、著者たちは制限基底被覆 𝔹₋(D) および拡張基底被覆 𝔹₊(D) が極限オクヌコフ体から回復可能であることを証明し、新たなネフ性および正則性の基準、被覆的サルツィ・ジロウ分解の公式、および含まれる単体のサイズに基づく移動セシドリ定数の上限・下限を得る。

ABSTRACT

An Okounkov body is a convex subset of Euclidean space associated to a divisor on a smooth projective variety with respect to an admissible flag. In this paper, we recover the asymptotic base loci from the Okounkov bodies by studying various asymptotic invariants such as the asymptotic valuations and the moving Seshadri constants. Consequently, we obtain the nefness and ampleness criteria of divisors in terms of the Okounkov bodies. Furthermore, we compute the divisorial Zariski decomposition by the Okounkov bodies, and find upper and lower bounds for moving Seshadri constants given by the size of simplexes contained in the Okounkov bodies.

研究の動機と目的

• 擬効剤の制限基底被覆と拡張基底被覆を、それらの極限オクヌコフ体から回復すること。
• 極限オクヌコフ体における原点および非負の直交座標系の位置を用いて、被覆の新たなネフ性および正則性基準を確立すること。
• オクヌコフ体を用いて、擬効剤の被覆的サルツィ・ジロウ分解を直接計算すること。
• 含まれる単体のサイズに基づいて、移動セシドリ定数の上限および下限を導出すること。

提案手法

• 著者たちは、擬効剤 D および適切なフラグ Y• に関連する極限オクヌコフ体 Δ^lim_Y•(D) を用いる。
• 幾何的被覆とオクヌコフ体の凸幾何学的性質を結びつけるために、漸近的正則性および移動セシドリ定数を主要な不変量として用いる。
• 証明戦略は、フラグの中心に対する極限オクヌコフ体内での原点および非負直交座標系の位置を分析することに依存する。
• 吹き上げと摂動を用いて、点におけるセシドリ定数をオクヌコフ体内の放射線の最小および最大長と関連付ける。
• グロモフ幅の公式を用いて、セシドリ定数の上限をシンプレクティック多様体のグロモフ幅と関連付ける。
• 構成には、被覆的モデル f: X̃ → X と X̃ 上の適切なフラグを用い、ν が値関数であるとき Δ_Y•(f*D) = Δ_ν(f*D) が成り立つようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 擬効剤 D の制限基底被覆 𝔹₋(D) は、適切なフラグに関して極限オクヌコフ体 Δ^lim_Y•(D) で特徴付けられるか。
• RQ2 非負直交座標系の条件を用いて、拡張基底被覆 𝔹₊(D) は極限オクヌコフ体から回復可能か。
• RQ3 漸近的正則性や移動セシドリ定数といった漸近的不変量は、オクヌコフ体の幾何学的性質とどのように関係するか。
• RQ4 被覆的サルツィ・ジロウ分解は、オクヌコフ体から直接計算可能か。
• RQ5 含まれる単体のサイズに基づいて、移動セシドリ定数にどのような上限・下限を確立できるか。

主な発見

• 制限基底被覆 𝔹₋(D) は、点 x ∈ X であって、x を中心とする任意の適切なフラグ Y• に対して、ℝⁿ の原点が Δ^lim_Y•(D) に含まれないような点の集合である。
• 被覆 D がネフであるための必要十分条件は、すべての点 x ∈ X および x を中心とするすべての適切なフラグ Y• に対して、原点が Δ^lim_Y•(D) 内にあることである。
• 拡張基底被覆 𝔹₊(D) は、点 x ∈ X であって、原点の任意の小さな近傍 U に対して、U≥0 が x を中心とする任意のフラグ Y• に対して Δ^lim_Y•(D) に含まれないような点の集合である。
• 被覆 D が正則であるための必要十分条件は、すべての適切なフラグ Y• に対して、原点の小さな近傍において非負直交座標系 ℝⁿ≥0 が Δ^lim_Y•(D) に含まれることである。
• 移動セシドリ定数 ε(||D||;x) は、λ_min(D;x,Y•) ≤ ε(||D||;x) ≤ λ_n(D;x,Y•) を満たす。ここで λ_min および λ_n はオクヌコフ体内の放射線の最小および最大長を表す。
• 正則被覆 A に付随するシンプレクティック多様体 (X,ω_A) のグロモフ幅 w_G(X,ω_A) は、w_G(X,ω_A) ≥ √(sup_{x,Y•} ξ_min(A;x,Y•)/π) を満たす。ここで ξ_min はオクヌコフ体内の最小長を表す。