[論文レビュー] Asymptotic behavior of a Bingham Flow in thin domains with rough boundary

Giuseppe Cardone, Carmen Perugia+1 more|arXiv (Cornell University)|May 6, 2019

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 31被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、滑らかでない周期的境界を有する薄い領域における非圧縮性ビンガム流体の漸近的挙動を、適応された線形アンフォールディング作用素を用いて分析する。均質化された極限問題が得られ、流れの非線形粘弾性特性を保ち、その極限問題が非線形ダルシーの法則に対応することが示され、粗い微細構造を通過する有効なマクロスコピックな流れを捉えている。

ABSTRACT

We consider an incompressible Bingham flow in a thin domain with rough boundary, under the action of given external forces and with no-slip boundary condition on the whole boundary of the domain. In mathematical terms, this problem is described by non linear variational inequalities over domains where a small parameter $\epsilon$ denotes the thickness of the domain and the roughness periodicity of the boundary. By using an adapted linear unfolding operator we perform a detailed analysis of the asymptotic behavior of the Bingham flow when $\epsilon$ tends to zero. We obtain the homogenized limit problem for the velocity and the pressure, which preserves the nonlinear character of the flow, and study the effects of the microstructure in the corresponding effective equations. Finally, we give the interpretation of the limit problem in terms of a non linear Darcy law.

研究の動機と目的

• 厚さパラメータ ϵ → 0 のとき、薄い領域における定常非圧縮性ビンガム流れの漸近的挙動を分析すること。
• 微細構造の粗さが薄い流体膜内のマクロスコピックな流れ挙動に与える影響を考慮すること。
• ビンガム流体の非線形特性を保持する均質化極限問題を導出すること。
• 有効なろ過速度を支配する非線形ダルシー型法則の観点から、均質化問題を解釈すること。

提案手法

• 滑らかでない周期的微細構造を有する薄い領域に特化した、適応された線形アンフォールディング作用素を用いて、境界の振動を扱う。
• 圧力の一様な推定を確立するため、修正された拡張作用素を導入し、タルタールのアプローチをビンガム系に一般化する。
• 適切な関数空間における弱収束および強収束を用いて、速度および圧力列の収束を確立する。
• アンフォールディング法を用いて二尺度極限を導出し、積空間 ω × Y∗ における変分不等式を得る。
• 基本周期細胞 Y∗ におけるセル問題を導入することで、極限問題を非線形ダルシーの法則に再定式化する。
• 非線形作用素 A(·) は、Y∗ における局所的ビンガム問題の解を介して定義され、微細構造の有効透過率を符号化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 厚さ ϵ → 0 のとき、滑らかでない周期的境界は、薄い領域におけるビンガム流体のマクロスコピックな流れ挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ2 この設定における速度場および圧力場の均質化極限問題は何か？ そして、その問題はどのようにしてビンガムモデルの非線形性を保っているか？
• RQ3 極限問題は非線形ダルシーの法則として解釈可能か？ もしそうならば、有効な非線形透過率作用素の形は何か？
• RQ4 微細スケールの粗さおよび降伏応力は、薄い領域における有効な流れ特性にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 薄く粗い領域におけるビンガム流れの均質化極限問題は、積領域 ω × Y∗ における二尺度変分不等式として導出され、非線形粘弾性挙動を保っている。
• 極限問題は、A が基本周期細胞 Y∗ におけるセル問題を介して定義される非線形ダルシーの法則 ˆV = A( ˆf − ∇ˆxp) と等価であることが示された。
• 有効なろ過速度 ˆV は、細胞 Y∗ における微細スケール速度の平均として与えられ、マクロスコピック領域 ω において発散なしの条件を満たす。
• 非線形作用素 A(·) は、Y∗ における局所的ビンガム問題の解 χ(ˆξ) を介して定義され、微細スケールにおける降伏応力および粘性抵抗を反映する。
• 収束結果は、降伏応力 g → 0 のとき、古典的なニュートン流体極限（例：[6]）を特別な場合として回復する。
• アンフォールディング法および適応された拡張技術を用いて、速度および圧力の両方のコンパクト性および収束性の性質を確立した。