[論文レビュー] Asymptotic behavior of CLS estimator of autoregressive parameter for nonprimitive unstable INAR(2) models

Mátyás Barczy, Márton Ispány+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2010

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 18被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、非原始的不安定な INAR(2) プロセスにおける自己回帰パラメータの条件付き最小二乗（CLS）推定量の漸近的分布を確立する。スケーリングされたランダムステップ過程の弱収束を平方ボッセル過程へと用いることで、CLS推定量の極限分布が標準ブラウン運動の関数として得られ、伊藤積分と quadratic variation の比へ収束することを示している。

ABSTRACT

In this paper the asymptotic behavior of conditional least squares estimators of the autoregressive parameter for nonprimitive unstable integer-valued autoregressive models of order 2 (INAR(2)) is described.

研究の動機と目的

• 非原始的不安定な INAR(2) プロセスにおける自己回帰パラメータの条件付き最小二乗（CLS）推定量の漸近的挙動を分析すること。
• 安定およびほぼ不安定な INAR(p) モデルに関する既存の結果を、単位根を持つ非原始的不安定な INAR(2) モデルへと拡張すること。
• 適切にスケーリングされた標本パスの弱収束を平方ボッセル過程（Cox-Ingersoll-Ross過程）へと確立し、極限分布の導出を可能とすること。
• CLS推定量の極限分布をブラウン運動の関数として導出することにより、単位根を有する INAR(2) モデルにおける推論の理論的裏付けを提供すること。

提案手法

• 著者たちは、INAR(2) プロセスから形成されるスケーリングされたランダムステップ過程の弱収束を、平方ボッセル過程（Cox-Ingersoll-Ross過程）へと用いる。これは連続状態の分岐過程である。
• 関数中心極限定理およびマルティンゲール技法を用いて、主な統計量の同時漸近的挙動を分析する。特に、設計行列の行列式とクロス積ベクトルの挙動を扱う。
• CLS推定量は、プロセスの経験モーメントを含む正規化された2次形式の関数 g として表現される。
• 連続写像定理およびスラツキーの補題を用いて極限分布を導出し、分布収束が標準ブラウン運動の伊藤積分と quadratic variation の比へ収束することを示す。
• 解析は、誤差項の2次のモーメントが有限であること、およびプロセスが非原始的不安定であること、すなわち特性多項式が単位根を持つが原始的でないことの仮定に依存する。
• 主な技術的ステップは、正規化された誤差項の同時分布収束が2次元ブラウン運動の関数へと収束することを示すことであり、これが最終的な極限分布に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非原始的不安定な INAR(2) プロセスにおける自己回帰パラメータの条件付き最小二乗推定量の極限分布は何か？
• RQ2 安定またはほぼ不安定な INAR(2) モデルと比較して、非原始的不安定な状況における CLS 推定量の漸近的挙動はどのように異なるか？
• RQ3 スケーリングされた標本パスの弱収束が平方ボッセル過程へと可能である場合、CLS 推定量の極限分布を導出できるか？
• RQ4 誤差項の2次のモーメントが、CLS 推定量の漸近的分散を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ5 非原始的不安定な INAR(2) 設定において、CLS 推定量は一貫性があり、漸近的に正規分布に従うか、それとも別の極限分布をとる必要があるか？

主な発見

• 非原始的不安定な INAR(2) モデルにおける自己回帰パラメータの CLS 推定量は、標準ブラウン運動の関数へ分布収束する。
• 極限分布は、標準ウィーナー過程 $ \mathcal{W}_t $ を用いて、$ \frac{\int_0^1 \mathcal{W}_t \, d\mathcal{W}_t}{\int_0^1 (\mathcal{W}_t)^2 \, dt} \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} $ として特徴づけられる。
• 誤差項の分散が正であり、かつプロセスが非原始的不安定（特性多項式が単位根を持つが原始的でない）である限り、収束が成立する。
• 極限分布は非退化しており、定数に退化せず、この設定では CLS 推定量が漸近的に正規分布に従わないことを示している。
• 極限分布は、$ n^{-5} \det(\mathbf{A}_n) \to \frac{\mu_\varepsilon^2 \sigma_\varepsilon^2}{12} \int_0^1 (\mathcal{W}_t)^2 \, dt $ および $ n^{-4} \widetilde{\mathbf{A}}_n \mathbf{d}_n \to \frac{\mu_\varepsilon^2 \sigma_\varepsilon^2}{12} \int_0^1 \mathcal{W}_t \, d\mathcal{W}_t \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} $ として与えられる正規化統計量の同時収束に基づいて導出される。
• 漸近的分布は、特定の誤差項分布に依存せず、標準ブラウン運動のパスの性質にのみ依存するため、分布フリーである。