[論文レビュー] Asymptotic behavior of compositions of under-relaxed nonexpansive operators

Jean-Bernard Baillon, Patrick L. Combettes+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2013

Optimization and Variational Analysis参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ヒルバート空間における非拡張作用素の過剰に緩和された合成とその平均の不動点の間の漸近的関係を確立する。ε→0 のとき、過剰に緩和された周期的反復の極限サイクルは弱収束（正則性のもとで強収束）し、平均二乗距離関数の最小化子に収束する。これにより、アフィン部分空間への射影におけるDe Pierroの予想が裏付けられ、より一般の凸集合へと拡張される。

ABSTRACT

In general there exists no relationship between the fixed point sets of the composition and of the average of a family of nonexpansive operators in Hilbert spaces. In this paper, we establish an asymptotic principle connecting the cycles generated by under-relaxed compositions of nonexpansive operators to the fixed points of the average of these operators. In the special case when the operators are projectors onto closed convex sets, we prove a conjecture by De Pierro which has so far been established only for projections onto affine subspaces.

研究の動機と目的

• 非拡張作用素の過剰に緩和された合成の不動点とその平均の不動点を結ぶ、長年の未解決問題を解消すること。
• 過剰に緩和反復の極限サイクルと平均二乗距離関数の最小化子を結ぶ一般の漸近的原理を確立すること。
• 閉凸集合への射影について、De Pierroの予想を証明し、従来のアフィン部分空間からより広い凸集合のクラスへと拡張すること。
• 極限サイクルが平均作用素の不動点に弱収束または強収束するための条件を特定すること。

提案手法

• 緩和パrameter ν→0+ のもとで、一般化された反復法における緩和の一般化として、過剰に緩和された合成 $ R^\nu $ を $ R^\nu = (\text{Id} + \nu(T_m - \text{Id})) \bigcirc \cdots \bigcirc (\text{Id} + \nu(T_1 - \text{Id})) $ として導入する。
• 周期的過剰に緩和反復 $ y_{k\nu}^\nu $ が生成する系列の弱収束サイクル $ (x_i^\nu) $ を分析し、連立不動点方程式の解に収束することを示す。
• ヒルバート空間における非拡張作用素および単調作用素分割の理論を適用し、解像作用素と射影の性質を活用する。
• 正則性条件 $ \max_i d_{E_i}(y_k) \to 0 \Rightarrow d_E(y_k) \to 0 $ を満たす部分空間 $ (E_i) $ の概念を用い、強収束を保証する。
• 問題を $ y_0 + E^\bot $ という部分空間に還元し、収縮性の議論を適用して収束を証明する。
• 関連するアフィン部分空間における平均作用素 $ T = \frac{1}{m}\sum T_i $ と過剰に緩和された合成 $ R^\nu $ の収縮性を用いて収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非拡張作用素の過剰に緩和された合成の不動点とその平均の不動点の間に関係があるか？
• RQ2 De Pierroの予想——過剰に緩和された周期的射影が最小二乗解に収束する——は、アフィン部分空間を超える一般の閉凸集合に対しても成り立つか？
• RQ3 過剰に緩和反復の極限サイクルが平均二乗距離の最小化子に強収束するための条件は何か？
• RQ4 非拡張作用素の異なるクラスにわたる過剰に緩和された合成の漸近的挙動は、一様に特徴付けられるか？

主な発見

• 閉凸集合 $ C_i $ への射影に対して、過剰に緩和反復の極限サイクル $ (x_i^\nu) $ は $ \nu \to 0^+ $ のとき、$ \overline{x} = P_S y_0 $ に弱収束する。ここで $ S $ は $ \Phi(x) = \frac{1}{2m}\sum d_{C_i}^2(x) $ の最小化子の集合である。
• 正則性条件を満たす法線空間 $ E_i $ のもとで、$ x_i^\nu $ の $ \overline{x} $ への収束は弱収束ではなく、強収束である。
• この結果により、アフィン部分空間への射影についてDe Pierroの予想が裏付けられ、さらに有界な集合 $ B_i $ と閉部分空間 $ E_i $ からなる非有界凸シリンダー $ B_i + E_i $ へと拡張される。
• 平均作用素 $ T $ の不動点集合は $ \Phi $ の最小化子の集合と一致し、この集合はアフィン的である：$ S = z + E $、ここで $ E = \bigcap E_i $ である。
• 収縮性の議論により、$ \|L \circ P_{E^\bot}\| < 1 $ を満たす条件下で、アフィン部分空間 $ y_0 + E^\bot $ において $ x_i^\nu $ が $ \overline{x} $ に収束することが確立される。ここで $ L = \frac{1}{m}\sum P_{E_i} $ である。
• 補題3.9から、[7]の主要結果の別証明が得られ、$ (E_i) $ の正則性がサイクルの存在および最小二乗解への収束を示唆する。