[論文レビュー] Asymptotic Behavior of Conjunctive Boolean Networks Over Weakly Connected Digraphs

Xudong Chen, Zuguang Gao+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2017

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 31被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、弱連結な有向グラフ上での結合的ブールネットワーク（CBNs）の漸近的挙動を特徴付けるためのシステム還元法を導入する。元のネットワークを、強連結成分がすべてサイクルである簡略化された還元システムに変換することで、著者らは還元システムが元のシステムの周期的軌道を一意に決定することを証明し、任意の初期状態から到達する極小周期軌道を正確に予測可能であることを示している。

ABSTRACT

A conjunctive Boolean network (CBN) is a finite state dynamical system, whose variables take values from a binary set, and the value update rule for each variable is a Boolean function consisting only of logic AND operations. We investigate the asymptotic behavior of CBNs by computing their periodic orbits. When the underlying digraph is strongly connected, the periodic orbits of the associated CBN has been completely understood, one-to-one corresponding to binary necklaces of a certain length given by the loop number of the graph. We characterize in the paper the periodic orbits of CBNs over an arbitrary weakly connected digraphs. We establish, among other things, a new method to investigate their asymptotic behavior. Specifically, we introduce a graphical-approach, termed system reduction, which turns the underlying digraph into a special weakly connected digraph whose strongly connected components are all cycles. We show that the reduced system uniquely determines the asymptotic behavior of the original system. Moreover, we provide a constructive method for computing the periodic orbit of the reduced system, which the system will enter for a given but arbitrary initial condition.

研究の動機と目的

• 弱連結な有向グラフ上での結合的ブールネットワーク（CBNs）の漸近的挙動を特徴付けること。これまでの結果は強連結の場合に限られていた。
• 複雑で非強連結なトポロジーを持つCBNsにおける周期的軌道の計算という課題に取り組むこと。
• 元のCBNを、長期的ダイナミクスを保持するより単純な同等のシステムに還元する体系的な手法を開発すること。
• 与えられた初期状態が最終的に到達する周期的軌道を特定する構成的アルゴリズムを提供すること。
• 強連結グラフに限らないCBNダイナミクスの理解を拡張し、より現実的な生物学的およびネットワーク系の解析を可能にすること。

提案手法

• すべての強連結成分がサイクルである構造に簡略化されたものとなるように、元の弱連結有向グラフを変換する、独創的な図的アプローチ「システム還元」を導入すること。
• 元のCBNのダイナミクスを再現する還元システムを定義し、周期的軌道を含む同じ漸近的挙動を保証すること。
• 元のシステムと還元システム間のダイナミクスを保存する状態マッピング ω を構築し、多重辺を含む経路に対しては修正を加えること。
• 還元システム内のサイクル長の最小公倍数（LCM）を用いて、任意の軌道の最大周期を決定すること。
• システムの漸近的挙動を特徴付けるために、修正された写像 Ω を適用し、その共変域を正の長さのサイクルに制限すること。
• 任意の周期的軌道に属する状態は、還元システムのサイクル上の値によって一意に決定されることを活用すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 元のグラフが強連結でない場合、弱連結な有向グラフ上でのCBNの漸近的挙動はどのように特徴付けられるか？
• RQ2 元のCBNのダイナミクスと、すべての強連結成分がサイクルである簡略化された還元システムとの間にはどのような関係があるか？
• RQ3 任意の初期状態が与えられたとき、システムはどの周期的軌道に到達するか？ そして、その計算はどのように効率的に行えるか？
• RQ4 CBNの周期的軌道構造は、最小限の複雑さを持つ還元システムを分析することで完全に特定可能か？
• RQ5 有向グラフのどのようなトポロジカル性質が、CBNにおける周期的軌道の可能な周期と構造を支配するか？

主な発見

• 還元システムは、元のCBNの漸近的挙動、特にすべての周期的軌道を一意に決定する。
• CBN内の任意の周期的軌道の周期は、還元システム内のサイクル長の最小公倍数（LCM）を割り切るが、LCMのすべての約数が実際に存在する周期に対応するとは限らない。
• 任意の初期状態から到達する正確な周期的軌道を計算するための構成的アルゴリズムが提供されている。
• システム還元法により、元の有向グラフをすべての強連結成分がサイクルであるものに変換することで、ダイナミクス同等性を保ちつつ解析が簡略化される。
• 正の長さのサイクルに制限された写像 Ω は、システムの漸近的挙動を完全に特徴付ける。
• 従来の強連結CBNに関する結果を一般化し、弱連結グラフへと拡張することで、システム生物学およびネットワークダイナミクス分野への広範な応用が可能になる。