[論文レビュー] Asymptotic behavior of gradient-like dynamical systems involving inertia and multiscale aspects

Hédy Attouch, Marc-Olivier Czarnecki|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 19被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、時間変動する減衰とマルチスケール結合を有する2階非線形力学系を研究し、解の軌道が凸関数Φの最小化点の集合上での二次的目的関数Ψを最小化する解へ弱収束することを証明する。主な結果は、制御パラメータε(t)の緩やかな可積分的減少により、Φの最小化点の集合内での最適平衡点への収束を保証する階層的選択を確立する。

ABSTRACT

In a Hilbert space $\\mathcal H$, we study the asymptotic behaviour, as time variable $t$ goes to $+\\infty$, of nonautonomous gradient-like dynamical systems involving inertia and multiscale features. Given $\\mathcal H$ a general Hilbert space, $\\Phi: \\mathcal H \ ightarrow \\mathbb R$ and $\\Psi: \\mathcal H \ ightarrow \\mathbb R$ two convex differentiable functions, $\\gamma$ a positive damping parameter, and $\\epsilon (t)$ a function of $t$ which tends to zero as $t$ goes to $+\\infty$, we consider the second-order differential equation $$\\ddot{x}(t) + \\gamma \\dot{x}(t) + \ abla \\Phi (x(t)) + \\epsilon (t) \ abla \\Psi (x(t)) = 0. $$ This system models the emergence of various collective behaviors in game theory, as well as the asymptotic control of coupled nonlinear oscillators. Assuming that $\\epsilon(t)$ tends to zero moderately slowly as $t$ goes to infinity, we show that the trajectories converge weakly in $\\mathcal H$. The limiting equilibria are solutions of the hierarchical minimization problem which consists in minimizing $\\Psi$ over the set $C$ of minimizers of $\\Phi$. As key assumptions, we suppose that $ \\int_{0}^{+\\infty}\\epsilon (t) dt = + \\infty $ and that, for every $p$ belonging to a convex cone $\\mathcal C$ depending on the data $\\Phi$ and $\\Psi$ $$ \\int_{0}^{+\\infty} \\left[\\Phi^* \\left(\\epsilon (t)p\ ight) -\\sigma_C \\left(\\epsilon (t)p\ ight)\ ight]dt < + \\infty $$ where $\\Phi^*$ is the Fenchel conjugate of $\\Phi$, and $\\sigma_C $ is the support function of $C$. An application is given to coupled oscillators.

研究の動機と目的

• ヒルバート空間における非可換勾配類動力学系の漸近的挙動を理解すること。
• 凸関数Φの無限個の最小化点の連続体から特定の平衡点を選択する課題に対処すること。
• 時間変動する制御機構ε(t)∇Ψ(x(t))を設計し、Φの最小化点の集合上でのΨの最小化点へ軌道を誘導すること。
• 弱収束を保証するε(t)に関する条件を確立すること。ΦおよびΨに対する高速減少や強い仮定を必要としない。

提案手法

• ヒルバート空間Hにおける2階微分方程式を定式化する: ÿ(t) + γẏ(t) + ∇Φ(x(t)) + ε(t)∇Ψ(x(t)) = 0。
• ε(t)に関する条件を課す: 非増加的、C¹級、t → ∞ で ε(t) → 0 であり、∫₀^∞ ε(t)dt = ∞ を満たす。
• Φ*（Fenchel共役）および集合C = argmin Φのサポート関数σ_Cを含む錐条件を導入する: すべてのp ∈ 凸錐に対して ∫₀^∞ [Φ*(ε(t)p) - σ_C(ε(t)p)]dt < ∞ が成り立つ。
• リャプノフ解析とエネルギー法を用いて軌道の収束を証明する。
• 波動方程式系（ノイマン境界条件付き）のようなPDE系へ解析を適応する。
• 下半連続なΦに対しても、infini-compactnessおよびRellich-Kondrakov埋め込みを用いて、無限次元設定への結果の拡張を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間変動パラメータε(t)がどのような条件下で、慣性系 ÿ + γẏ + ∇Φ(x) + ε(t)∇Ψ(x) = 0 がt → ∞ で弱収束するか？
• RQ2 Φの無限個の最小化点の中から特定の平衡点（特にΨを最小化する点）を選択するには、どのように動的制御を行うか？
• RQ3 ε(t)の緩やかな減少が階層的最小化を達成する役割を果たす理由は何か？また、速いまたは遅い減少率と比較してどのように異なるか？
• RQ4 理論的枠組みを、非滑らかまたは下半連続なポテンシャル（例：PDEモデル）へ拡張可能か？
• RQ5 時間変動する結合項を有する結合波動系の漸近的挙動は何か？また、制約付き集合上でのポテンシャル最小化とどのように関係するか？

主な発見

• マルチスケール慣性勾配系の軌道は、ヒルバート空間Hにおいて弱収束し、極限点x∞ ∈ argmin_C Ψに収束する。すなわち、Φの最小化点の集合上でのΨの最小化点に収束する。
• 収束は条件∫₀^∞ ε(t)dt = ∞およびΦ*とσ_Cを含む錐条件のもとで保証され、制御項の十分な励起を保証する。
• Ψ(x) = ||x||²の場合、結果はTikhonov正則化に対応し、Φの最小化点の集合内での最小ノルム解が選択される。
• 結合波動方程式への応用において、系はL²(Ω)×L²(Ω)において強く収束し、2つの波が等しい平均値を持つ極限に到達する。すなわち、∫Ω u₁,∞dx = ∫Ω u₂,∞dx が成り立つ。
• エネルギーの収束により、波動系においてH¹(Ω)でより強い収束が示され、選択メカニズムの頑健性が裏付けられる。
• infini-compactnessおよびSobolev埋め込みを用いることで、Φが下半連続である場合でも、PDEのような無限次元設定へ枠組みを適用可能である。