[論文レビュー] Asymptotic behavior of multiscale stochastic partial differential equations

Michael Röckner, Longjie Xie+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2020

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 34被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ヒルバート空間における特異係数を有するスローファスト確率偏微分方程式に対して、平均化原理および正規偏差を確立する。ヒルバート空間上のポisson方程式を用いて、スローモジュールが平均化方程式に強く収束すること、および正規化されたフラクチュエーションがオーナイズ・ウーレンバック過程に弱収束することを証明し、その収束速度は高速成分の正則性に依存しないことを示す。

ABSTRACT

In this paper, we study the asymptotic behavior of a semi-linear slow-fast stochastic partial differential equation with singular coefficients. Using the Poisson equation in Hilbert space, we first establish the strong convergence in the averaging principe, which can be viewed as a functional law of large numbers. Then we study the stochastic fluctuations between the original system and its averaged equation. We show that the normalized difference converges weakly to an Ornstein-Uhlenbeck type process, which can be viewed as a functional central limit theorem. Furthermore, rates of convergence both for the strong convergence and the normal deviation are obtained, and these convergence are shown not to depend on the regularity of the coefficients in the equation for the fast variable, which coincides with the intuition, since in the limit systems the fast component has been totally averaged or homogenized out.

研究の動機と目的

• ヒルバート空間における特異係数を有する半線形スローファストSPDEの漸近的挙動を分析すること。
• スローモジュールが平均化極限に強く収束することを確立し、これは大数の法則の関数的形として解釈される。
• 平均化方程式の周囲の確率的フラクチュエーションを、関数的中心極限定理として特徴付けること。
• 収束速度が高速成分の係数の正則性に依存しない形で、強収束および正規偏差の両方について明示的な収束速度を導出すること。

提案手法

• 時間スケールを分離する小パrameter $\varepsilon$ を用いて、ヒルバート空間 $H_1 \times H_2$ 上にスローファストSPDEを定式化する。
• 平均化原理のための補正関数を構成するために、ヒルバート空間上のポisson方程式を適用する。
• 無限次元SPDEを取り扱うためにGalerkin近似を用い、モーメント推定を確立する。
• Kolmogorov方程式および伊藤の補題を用いて、正規化された偏差過程を分析する。
• 分数次元Sobolevノルムおよび確率積分の境界を用いて、スローモジュールおよび高速モジュールのモーメント推定を導出する。
• Burkholder-Davis-Gundy不等式および半群の正則性推定を用いて、ノイズ項およびドリフト項を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スローモジュールが $\varepsilon \to 0$ のとき、平均化方程式に強く収束するか？
• RQ2 特異係数を有する状況下で、強平均化原理の収束速度は何か？
• RQ3 元のシステムと平均化されたシステムとの間の正規化されたフラクチュエーションは、弱収束してある確率過程に収束するか？
• RQ4 収束速度を高速成分の係数の正則性に依存せずに有界化できるか？
• RQ5 フラクチュエーション過程の極限的挙動は何か？ そして、それはどのように特徴づけられるか？

主な発見

• 任意の $\gamma \in (0,1/2)$ に対して、$\varepsilon \to 0$ のとき、スローモジュール $X_t^\varepsilon$ は $L^q(\Omega)$-収束において平均化解 $\bar{X}_t$ に強く収束し、収束速度は $O(\varepsilon^{\gamma})$ である。
• 正規化された差 $\varepsilon^{-1/2}(X_t^\varepsilon - \bar{X}_t)$ は、オーナイズ・ウーレンバック過程に弱収束し、関数的中心極限定理が確立される。
• 強平均化原理の収束速度は $O(\varepsilon^{\gamma})$ であり、高速方程式の係数の正則性に依存しない。
• スローモジュール $X_t^\varepsilon$ および平均化解 $\bar{X}_t$ のモーメント推定が得られ、$\mathbb{E}\|AX_t^\varepsilon\|_1^q \leq C_{\theta,\gamma,q,T}(t^{\theta-1} + \varepsilon^{-\gamma})(1 + \|x\|_{(-A)^\theta}^2 + \|y\|_2^{2p})$ が成り立つ。
• 平均化方程式は $H_1$ 上に一意な弱解を有し、その正則性は生成子 $A$ の分数次元累乗を用いて制御される。
• フラクチュエーション過程は、$O(\varepsilon^{\gamma/2})$ 階のモーメントバインディングを満たし、中心極限定理のスケーリングと整合的である。