[論文レビュー] Asymptotic behavior of subfunctions of the stationary Schrodinger operator

B. Ya. Levin, Alexander Kheyfits|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2002

Holomorphic and Operator Theory参考文献 42被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、定常シュレーディンガー作用素 $ L_c = -\Delta + c(x) $ の部分関数における漸近的挙動の結果を確立し、古典的定理（フェルゲン＝リンドェルーフ、ブラーシュケ、ハイマン＝アザリン）を $ c $-上位調和関数へ一般化する。主な貢献は、ポテンシャル $ c(x) $ を含む径数微分方程式によって支配される正確な増大度を同定することであり、$ |x|^2 c(x) \to \infty $ のとき指数関数的増大を示すが、これはラプラシアンの場合のべき乗的増大とは対照的である。

ABSTRACT

Subharmonic functions associated with the stationary Schrodinger operator are its weak subsolutions under appropriate assumptions on the potential of the operator. We prove for these functions analogs of several classical results on analytic and subharmonic functions, such as the Phragmen-Lindelof theorem with the precise growth rate, the Blaschke theorem on bounded analytic functions, the Carleman formula, the Hayman-Azarin theorem on asymptotic behavior of special subharmonic functions in many-dimensional cones.

研究の動機と目的

• 定常シュレーディンガー作用素 $ L_c = -\Delta + c(x) $ の $ c $-部分関数へ、解析関数および上位調和関数に関する古典的定理を拡張すること。
• 一般的なポテンシャル条件の下で、$ n $ 次元の錐内における $ c $-上位調和関数の正確な漸近的増大度を特定すること。
• リーマン測度と径数微分方程式の特別解を用いて、有界な解析関数に関するブラーシュケ定理を $ c $-上位調和関数へ一般化すること。
• 錐内における漸近的挙動に関するハイマン＝アザリン定理を、二重級数およびグリーン関数の推定を用いて $ c $-上位調和関数へ拡張すること。

提案手法

• 径数微分方程式 $ y'' + (n-1)r^{-1}y' - (\lambda_0 r^{-2} + q(r))y = 0 $ の解を用いて、$ n $ 次元の錐内における $ c $-上位調和関数に対するフェルゲン＝リンドェルーフ定理の類似を導出する。ここで $ q $ は $ c(x) $ の径数下界である。
• 錐内における $ L_q $ のグリーン関数の二重級数表現および推定を用いて、$ c $-上位調和関数に対するハイマン＝アザリン定理を一般化する。
• 一般化されたカールマン公式を適用し、$ c $-上位調和関数のリーマン測度とその増大度を関連づけることで、ブラーシュケ定理の拡張を可能にする。
• 関連する方程式の解の変換を用いて、径数微分方程式の増大解 $ V(r) $ と減少解 $ W(r) $ を構成し、正則性条件の下で存在および連続性を保証する。
• 単位球面上の固有関数展開およびラプラシアン＝ベルトラミ作用素のスペクトル論を用いて、錐領域内における解を分解する。
• 条件 $ \int^\infty t^{-1}(t^2 q(t) - k)^2 dt < \infty $ または $ \int^\infty r^{-2} \sqrt{q(r)} dr < \infty $ の下で、微分方程式 $ y'' + (n-1)r^{-1}y' - (\lambda r^{-2} + q(r))y = 0 $ の解の漸近的解析（JWKB型近似含む）を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポテンシャル $ c(x) $ が $ |x|^2 c(x) \to \infty $ を満たすとき、$ n $ 次元の錐内における $ c $-上位調和関数の正確な漸近的増大度は何か？
• RQ2 リーマン測度および径数微分方程式の解を用いて、有界な解析関数に関するブラーシュケ定理を $ c $-上位調和関数へ一般化するにはどうすればよいか？
• RQ3 径数微分方程式 $ y'' + (n-1)r^{-1}y' - (\lambda r^{-2} + q(r))y = 0 $ の解 $ V(r) $ が任意の $ r $ のべきよりも速く増大するための条件は何か？ また、この場合に成り立つ漸近的公式は何か？
• RQ4 二重級数およびグリーン関数の推定を用いて、錐内における上位調和関数の角極限の存在に関するハイマン＝アザリン定理を $ c $-上位調和関数へ拡張できるか？
• RQ5 径数微分方程式の解 $ V(r) $ および $ W(r) $ が $ r \to \infty $ で JWKB 型の漸近展開を有するためのポテンシャル $ q(r) $ に関する条件は何か？

主な発見

• $ |x|^2 c(x) \to \infty $ のとき、境界で有界な錐内における $ c $-上位調和関数の最小増大度はべき乗的ではなく指数的であり、$ \mathbb{R}^n $ 内の $ c $-調和関数に対するリウヴィルの定理における増大度と一致する。
• フェルゲン＝リンドェルーフ定理は、錐内における $ c $-上位調和関数に対して、径数微分方程式 $ y'' + (n-1)r^{-1}y' - (\lambda_0 r^{-2} + q(r))y = 0 $ の増大解 $ V(r) $ によって決定される正確な増大度を伴って確立される。ここで $ \lambda_0 $ は球面領域におけるラプラシアン＝ベルトラミ作用素の第一固有値である。
• $ \int_{K^D_1} V(r)\varphi_0(\theta) d\mu(r,\theta) $ および $ \int_{K^D \setminus K^D_1} W(r)\varphi_0(\theta) d\mu(r,\theta) $ が共に有限であれば、一般化されたブラーシュケ定理が成り立つ。ここで $ V $ と $ W $ は径数微分方程式の増大解および減少解である。
• $ \int^\infty t^{-1}(t^2 q(t) - k)^2 dt < \infty $ を満たすポテンシャルに対して、解 $ V(r) $ は $ r \to \infty $ のとき漸近的形 $ V(r) = b r^{(2-n+\chi_k)/2} \exp\left( \frac{1}{\chi_k} \int^r_1 (t^2 q(t) - k) \frac{dt}{t} \right) (1 + \overline{\overline{o}}(1)) $ をとる。ここで $ \chi_k^2 = (n-2)^2 + 4(\lambda + k) $ である。
• $ \lim_{r\to\infty} r^2 q(r) = \infty $ のとき、解 $ V(r) $ は任意の $ r $ のべきよりも速く増大し、正則性条件のもとで JWKB 漸近公式 $ V(r) = b r^{(1-n)/2} q^{-1/4}(r) \exp\left( \int^r_1 q^{1/2}(t) dt \right) (1 + \overline{\overline{o}}(1)) $ が成り立つ。
• 二重級数および $ L_q $ のグリーン関数の推定を用いて、$ n $ 次元の錐内における $ c $-上位調和関数へハイマン＝アザリン定理を一般化する。その結果、適切な増大制限の下で角極限 $ \lim_{r\to\infty} r^{-1} u(re^{i\theta}) $ が存在することが示された。