[論文レビュー] Asymptotic behavior of the nonlinear Schr\\"odinger equation with harmonic trapping

Hani, Zaher, Laurent Thomann|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2014

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 25被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、ソーセージ型（1次元）配置における調和的捕獲を伴う三次非線形シュレーディンガー方程式に対して、修正散乱を確立し、長時間の力学的挙動が1次元における三次非線形シュレーディンガー方程式に等価な共鳴系に支配されることを証明する。この結果は、ボーズ＝アインシュタイン凝縮物理学で用いられる準1次元近似を正当化し、拡張するものであり、捕獲による線形分散損失にもかかわらず、非線形効果が漸近的挙動を支配することを示している。

ABSTRACT

We consider the cubic nonlinear Schr\\"odinger equation with harmonic trapping on $\\mathbb{R}^D$ ($1\\leq D\\leq 5$). In the case when all but one directions are trapped (a.k.a "cigar-shaped" trap), following the approach of Hani-Pausader-Tzvetkov-Visciglia, we prove modified scattering and construct modified wave operators for small initial and final data respectively. The asymptotic behavior turns out to be a rather vigorous departure from linear scattering and is dictated by the resonant system of the NLS equation with full trapping on $\\mathbb{R}^{D-1}$. In the physical dimension $D=3$, this system turns out to be exactly the (CR) equation derived and studied by Faou-Germain-Hani. The special dynamics of the latter equation, combined with the above modified scattering results, allow to justify and extend some physical approximations in the theory of Bose-Einstein condensates in cigar-shaped traps.

研究の動機と目的

• ソーセージ型トラップにおけるボーズ＝アインシュタイン凝縮理論で用いられる準1次元近似を、厳密に正当化すること。
• 三次元以上における異方的調和的捕獲を伴う三次非線形シュレーディンガー方程式の長時間漸近的挙動を分析すること。
• 小さな初期および最終データに対して、修正波作用素を構成し、線形散乱の代わりに修正散乱が成立することを示すこと。
• 複数のエネルギー準位が励起される場合にも、物理的近似を拡張すること。

提案手法

• D次元における調和的捕獲を伴うNLS方程式の漸近的挙動を研究するため、[18]の手法を適応する。
• 1つの方向が捕獲されていない極限（ソーセージ型）において、系をR^{D-1}上での共鳴系に還元する。
• 多重時空間スケール展開と、U(t,x,y) ~ ψ(t,x)e^{2it}e^{-|y|^2/2}の形のアンサンブルを用いて、有効な1次元力学を導出する。
• リトルウッド＝パイルの分解と周波数局在化技術を用いて、共鳴系における非線形相互作用を制御する。
• 非線形項を共鳴系内でバウンドするため、交換子推定と重み付きソボレフノルムを用い、特に演算子τ_m^{Λ}を用いる。
• βノルムの許容性とシュールの補題を用いて、周波数局在化された寄与の二乗可summabilityを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ソーセージ型トラップにおけるボーズ＝アインシュタイン凝縮体の準1次元近似は、高エネルギー準位が励起される場合でも、長時間にわたり成立するか？
• RQ2 異方的極限における調和的捕獲を伴う三次NLS方程式の正確な漸近的挙動は何か？
• RQ3 調和的封印の存在下で、R^{D-1}上での共鳴系は、長時間の力学的挙動をどのように支配するか？
• RQ4 ソーセージ型捕獲領域における小さなデータに対して、修正波作用素を構成できるか？
• RQ5 3次元NLS方程式における調和的捕獲の長時間極限で、1次元三次NLS方程式（CR方程式）は正しい有効力学か？

主な発見

• 調和的捕獲を伴う三次NLS方程式のソーセージ型配置において、修正散乱が確立され、線形散乱とは顕著に異なる挙動を示す。
• 漸近的力学はR^{D-1}上での共鳴系に支配され、D=3では三次非線形シュレーディンガー方程式（CR方程式）に等価である。
• 高エネルギー準位が励起される場合を含め、長時間における準1次元近似が厳密に正当化され、地面状態領域を超えて有効性が拡張される。
• 以前[9,11,12]で研究された共鳴系の特殊な力学が、3次元全系の長時間挙動を決定づけることが示された。
• 小さなデータに対する修正波作用素の構成により、非線形効果のため線形散乱とは異なる漸近状態の存在が確認された。
• 周波数局在化と交換子推定を用いた手法により、非線形相互作用がうまく制御され、必要なソボレフノルム内での有界性が証明された。