[論文レビュー] Asymptotic behaviour for a chemo-repulsion system with quadratic production: The continuous problem and two fully discrete numerical schemes

Francisco Guillén‐González, María Ángeles Rodríguez‐Bellido+1 more|arXiv (Cornell University)|May 2, 2018

Mathematical Biology Tumor Growth被引用数 3

ひとこと要約

本稿は二次的生産項を有する化学的嫌避反応系を分析し、時間無限において弱解から強解への指数的収束を証明している。また、完全離散化された2つの数値スキーム—FEバックワード・オイラー法と非線形勾配補助変数を用いたスキーム—を導入・分析し、それらの可解性、無条件エネルギー安定性、および数値的シミュレーションによる同等の性能を示している。

ABSTRACT

In this paper we consider a repulsive chemotaxis model with quadratic production term. We analyze the large-time behavior of the global weak-strong solutions and we prove the exponential convergence to a constant state as time goes to infinity. Moreover, we study this same behaviour for two fully discrete numerical schemes associated to this model: the Finite Element (FE) backward Euler and another nonlinear scheme obtained by introducing as auxiliary variable the gradient of the chemical concentration. On the way, in order to analyze the asymptotic behaviour for the backward Euler scheme, we prove its solvability and unconditional energy-stability. Finally, we compare the numerical schemes throughout several numerical simulations.

研究の動機と目的

• 二次的生産項を有する化学的嫌避系における、大時間におけるグローバル弱解・強解の挙動を研究すること。
• 時間無限に近づくにつれて解が定数状態に指数的に収束することを証明すること。
• 有限要素バックワード・オイラー法と、補助的勾配変数を用いた非線形スキームの2つの完全離散化数値スキームの漸近的挙動を分析すること。
• バックワード・オイラー法の可解性および無条件エネルギー安定性を証明すること。
• 広範な数値的シミュレーションを通じて、2つの数値スキームの性能を比較すること。

提案手法

• 細胞密度方程式に二次的生産項を含む化学的嫌避モデルを定式化すること。
• エネルギー法を用いて連続解の長時間挙動を分析し、平衡状態への指数的減衰を証明すること。
• 完全離散化された有限要素バックワード・オイラースキームを導入し、その可解性および無条件エネルギー安定性を証明すること。
• 化学的勾配を補助変数として導入することで、非線形完全離散化スキームを提案し、安定性と精度を向上させること。
• エネルギー推定および離散グロワンウォール型不等式を用いて、両数値スキームの漸近的挙動を分析すること。
• 両スキーム間の解のプロファイル、収束速度、エネルギー減衰を比較する数値的シミュレーションを実施すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二次的生産項を有する化学的嫌避系のグローバル弱解・強解は、時間無限に近づくにつれて指数的に定数状態に収束するか？
• RQ2 本系に適用された有限要素バックワード・オイラースキームは、無条件エネルギー安定かつ可解であるか？
• RQ3 化学的勾配を補助変数として組み込んだ非線形完全離散化スキームは、エネルギー安定性を保ち、長時間挙動を正確に捉えることができるか？
• RQ4 解の品質、エネルギー減衰、平衡状態への収束に関して、2つの数値スキームはどのように比較されるか？
• RQ5 離散解の漸近的挙動は何か？また、連続系の指数的収束を反映しているか？

主な発見

• 二次的生産項を有する連続的化学的嫌避モデルのグローバル弱解・強解は、時間無限に近づくにつれて指数的に定数状態に収束する。
• 有限要素バックワード・オイラースキームは、無条件エネルギー安定かつ無条件可解であり、安定な数値積分を保証する。
• 補助勾配変数を用いた非線形スキームはエネルギー安定性を保ち、長時間ダイナミクスを正確に捉えている。
• 数値的シミュレーションにより、両スキームとも離散エネルギーが指数的に減衰することが確認され、連続系の挙動と整合的である。
• 2つの数値スキームは、解の精度や安定性に著しい劣化を示さず、漸近的挙動のシミュレーションにおいて同等の性能を示している。