[論文レビュー] Asymptotic behaviour of ergodic integrals of `renormalizable' parabolic flows

Giovanni Forni|ArXiv.org|Apr 28, 2003

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、『可縮性のある』放物型流れにおけるエルゴード積分の漸近的挙動を分析する一般枠組みを確立し、モジュライ空間上の再正規化力学系を導入することで、コンツェビッチ＝ゾリッチ枠組みを一般化する。この研究では、再正規化コサイクルのオセレチェフ分解から得られる指数を用いて、エルゴード積分がべき則的成長を示すことを証明し、区間交換変換を超えてホロサイクル流や卾同次3次元多様体上の冪零流へとゾリッチ現象を拡張する。

ABSTRACT

Ten years ago A. Zorich discovered, by computer experiments on interval exchange transformations, some striking new power laws for the ergodic integrals of generic non-exact Hamiltonian flows on higher genus surfaces. In Zorich's later work and in a joint paper authored by M. Kontsevich, Zorich and Kontsevich were able to explain conjecturally most of Zorich's discoveries by relating them to the ergodic theory of Teichmüller flows on moduli spaces of Abelian differentials. In this article, we outline a generalization of the Kontsevich-Zorich framework to a class of `renormalizable' flows on `pseudo-homogeneous' spaces. We construct for such flows a `renormalization dynamics' on an appropriate `moduli space', which generalizes the Teichmüller flow. If a flow is renormalizable and the space of smooth functions is `stable', in the sense that the Lie derivative operator on smooth functions has closed range, the behaviour of ergodic integrals can be analyzed, at least in principle, in terms of an Oseledec's decomposition for a `renormalization cocycle' over the bundle of `basic currents' for the orbit foliation of the flow. This approach was suggested by the author's proof of the Kontsevich-Zorich conjectures and it has since been applied, in collaboration with L. Flaminio, to prove that the Zorich phenomenon generalizes to several classical examples of volume preserving, uniquely ergodic, parabolic flows such as horocycle flows and nilpotent flows on homogeneous 3-manifolds.

研究の動機と目的

• 『擬同次空間』上の『可縮性』を有する流れのクラスに、コンツェビッチ＝ゾリッチ枠組みを一般化すること。
• 双曲的および楕円的手法が失敗する放物型流れにおけるエルゴード積分の漸近的挙動を分析すること。
• 再正規化コサイクルのリャプノフ指数とエルゴード平均の逸脱スペクトルとの間の関係を確立すること。
• ゾリッチ現象——エルゴード積分のべき則的成長——が区間交換変換を超えて、ホロサイクル流や冪零流といった古典的放物型流れへも拡張されることを証明すること。

提案手法

• 流れの軌道ファイブレーションのための『基本的電流』のモジュライ空間上に『再正規化力学系』を構築すること。
• 基本的電流のバンドル上に作用する『再正規化コサイクル』を定義し、ティヒミュラー流を一般化すること。
• 再正規化コサイクルにオセレチェフの定理を適用し、逸脱指数を伴うスペクトル的分解を得ること。
• 滑らかな関数がリー微分作用素の下で安定（有界な範囲条件）であることを利用して、この分解の存在を保証すること。
• リャプノフ指数と不変分布のソボレフ正則性との関係を、式 $1 - \nu_k / \mu_X \geq 0$ を用いて関係づけること。
• 同次的状況（例：ホロサイクル流）において、オセレチェフ分解が表現論における錐的分布に対応することを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゾリッチ現象——エルゴード積分のべき則的成長——は、区間交換変換を超えて他の放物型流れへ一般化可能か？
• RQ2 再正規化コサイクルは、非双曲的流れにおけるエルゴード積分の漸近的挙動をどのように決定づけるか？
• RQ3 再正規化コサイクルのリャプノフ指数は、不変分布のソボレフ正則性とどのように関係するか？
• RQ4 再正規化コサイクルのオセレチェフ分解は、エルゴード平均の逸脱スペクトルをどのように制御するのか？
• RQ5 コhomology上のコンツェビッチ＝ゾリッチコサイクルと、電流上の全再正規化コサイクルとの関係は何か？

主な発見

• エルゴード積分の漸近的展開は、$\int_0^T f(\Phi^X(t,p)) dt = \sum_{i,j} c_{ij}(p,T) \mathcal{D}_{ij}(f) T^{\lambda_i} + R(p,T)(f)$ で与えられ、係数および剰余項は $T$ に関して多項式的でない。
• 逸脱指数 $\lambda_i$ は再正規化コサイクルのリャプノフスペクトルから得られ、$\lambda_1 > \cdots > \lambda_k > \cdots > 0$ である。
• ホロサイクル流の場合、オセレチェフ分解は錐的分布に対応し、エルゴード理論と表現論を結びつける。
• 高 genus の曲面上の非正確なハミルトニアン流れの場合は、再正規化コサイクルの正のリャプノフ指数が、コンツェビッチ＝ゾリッチ指数 $\lambda_1 = 1 > \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_g > 0$ と一致する。
• 基本的電流のソボレフ順序は $1 - \nu_k / \mu_X$ であり、正則性とリャプノフ指数を結びつける。
• $s >> 1$ のとき、コhomology写像 $j_\kappa$ は全射であり、再正規化コサイクルは $H^1_{\kappa}(S\setminus Z, \mathbb{R})$ 上にコンツェビッチ＝ゾリッチコサイクルへと射影され、指数は $\lambda_1 = 1 > \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_g \geq 0 \geq \cdots \geq -\lambda_2 > -1$ である。