[論文レビュー] Asymptotic behaviour of the fractional Heston model

Hamza Guennoun, Antoine Jacquier+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 34被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、Hurstパラメータ $ H \in (0,1) $ を持つ分数 Browm運動によって駆動されるボラティリティを有する分数 Heston モデルを分析し、短期および長期の満期におけるインプライドボラティリティの漸近的挙動を導出する。$ H < 1/2 $ の場合、インプライドボラティリティは短期満期においてジャンプ型の挙動を示し、古典的モデルがボラティリティスメールの急峻な短満期部分をうまくフィットできないという問題を解決する。

ABSTRACT

We consider the fractional Heston model originally proposed by Comte, Coutin and Renault. Inspired by recent ground-breaking work on rough volatility, which showed that models with volatility driven by fractional Brownian motion with short memory allows for better calibration of the volatility surface and more robust estimation of time series of historical volatility, we provide a characterisation of the short- and long-maturity asymptotics of the implied volatility smile. Our analysis reveals that the short-memory property precisely provides a jump-type behaviour of the smile for short maturities, thereby fixing the well-known standard inability of classical stochastic volatility models to fit the short-end of the volatility smile.

研究の動機と目的

• 古典的確率的ボラティリティモデルがインプライドボラティリティスメールの急峻な短満期部分を常にフィットできないという問題を解決すること。
• 短記憶性を持つ分数 Browm運動（$ H < 1/2 $）が、ボラティリティサーフェスにおける観察された市場行動を説明できるかどうかを調査すること。
• 分数 Heston モデルにおけるインプライドボラティリティの長期間および短期間における漸近的挙動を特定すること。
• 歴史的時系列データが長記憶性を示すにもかかわらず、$ H \in (0,1/2) $ が $ H > 1/2 $ よりもボラティリティサーフェスにうまくフィットするという経験的観察の理論的裏付けを提供すること。

提案手法

• モデルは、標準的な Heston モデルにおける分散過程の標準 Browm 運動を、Hurst パラメータ $ H \in (0,1) $ を持つ分数 Browm 運動に置き換えることで拡張される。
• ロット株価の特性関数が閉形式で導出され、オプション価格およびインプライドボラティリティの正確な計算が可能になる。
• 大偏差原理がスケーリングされたロット株価過程に適用され、尾部挙動および漸近的インプライドボラティリティの分析が行われる。
• Gärtner-Ellis 定理を用いて、指数的減衰の割合関数 $ \Lambda^* $ が導出され、尾部確率の指数的減衰とインプライドボラティリティの漸近的挙動を支配する。
• $ H \in (0,1/2) $ および $ H \in (1/2,1) $ のそれぞれについて別々に漸近的解析が行われ、短期および長期満期の領域で異なる挙動が明らかになる。
• オプション価格およびその対数確率の収束結果が、$ f(t) = t^{1+d/2} $ のような異なるスケーリング関数 $ f(t) $ に対して確立され、インプライドボラティリティの極限が導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ H < 1/2 $ の場合、分数 Heston モデルにおいて満期 $ t \to 0 $ に近づくときインプライドボラティリティはどのように振る舞うか？
• RQ2 $ H > 1/2 $ の場合、分数 Heston モデルにおけるインプライドボラティリティの長期的漸近的挙動は何か？
• RQ3 歴史的時系列データが長記憶性を示すにもかかわらず、$ H \in (0,1/2) $ の経験的キャリブレーションがボラティリティサーフェスに優れたフィットをもたらすのはなぜか？
• RQ4 分数 Heston モデルは、市場データで観察される短期満期におけるインプライドボラティリティのジャンプ型挙動を再現できるか？
• RQ5 Hurst パラメータと時間のスケーリングの相互作用が、ロット株価過程の大偏差にどのように影響するか？

主な発見

• $ H \in (0,1/2) $ の場合、インプライドボラティリティは短期満期においてジャンプ的挙動を示し、$ \lim_{t\uparrow\infty} t^{-d/4} \Sigma(x t^{1+d/2}) = \sqrt{2} \left( \sqrt{\Lambda_+^*(x)} + \sqrt{\Lambda_+^*(x) - x} \right) $ が成り立ち、爆発的挙動を示す。
• $ H \in (1/2,1) $ の場合、インプライドボラティリティは長期間にわたり正の定数に収束し、長記憶性の平均化効果を反映している。
• 短期満期において、$ H < 1/2 $ のモデルは古典的モデルよりもより急峻なインプライドボラティリティスメールを生成し、市場データとよりよく一致する。
• スケーリングされたロット株価過程は弱収束するが、パスワイズ収束はしない。これはジャンプ・ドリフトモデルに類似した特徴であり、ジャンプ的挙動の説明となる。
• インプライドボラティリティの漸近的挙動は、Gärtner-Ellis 定理により導出された累積モーメント母関数の Fenchel-Legendre 変換 $ \Lambda^* $ によって支配される。
• 本分析により、$ H \in (0,1/2) $ の分数 Heston モデルが、ボラティリティサーフェスへのフィットに成功する経験的成果の理論的根拠を提供することが確認された。