[論文レビュー] Asymptotic Cohomology and Uniform Stability for Lattices in Semisimple Groups

Lev Glebsky, Alexander Lubotzky+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Advanced Operator Algebra Research被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、高ランク格子の単位的表現に関する、有限次元ヒルベルト空間上のユニタリ表現と、乗法的ノルムに関して一様安定性を確立する。漸近的コホモロジー理論を発展させることで、安定性の障害を捉え、第二漸近的コホモロジー群の消滅が一様安定性を意味することを証明する。これは、アメニタブル群に対するカジランの結果および $SL(n,\mathbb{Z})$（$n>2$）に対するブルガーオザワトームの結果を一般化する。

ABSTRACT

It is, by now, classical that lattices in higher rank semisimple groups have various rigidity properties. In this work, we add another such rigidity property to the list: uniform stability with respect to the family of unitary operators on finite-dimensional Hilbert spaces equipped with submultiplicative norms. Namely, we show that for (most) high-rank lattices, every finite-dimensional unitary "almost-representation" of $Γ$ is a small deformation of a (true) unitary representation. This extends a result of Kazhdan (1983) for amenable groups and of Burger-Ozawa-Thom (2013) for SL(n,Z) (for n>2). Towards this goal, we first build an elaborate cohomological theory capturing the obstruction to such stability, and show that the vanishing of second cohomology implies uniform stability in this setting. This cohomology can be roughly thought of as an asymptotic version of bounded cohomology, and sheds light on a question raised in Monod (2006) about a possible connection between vanishing of second bounded cohomology and Ulam stability.

研究の動機と目的

• 高ランク格子のための新しい剛性性質「一様安定性」を確立すること。
• アメニタブル群および $SL(n,\mathbb{Z})$ におけるウラム安定性の既知の結果を、一般の高ランク格子へと拡張すること。
• 一様安定性の障害を捉えるためのコホモロジー的枠組み「漸近的コホモロジー」を構築すること。
• 有界コホモロジー、漸近的コホモロジー、およびウラム安定性の関係を、特に第二コホモロジーの消滅の文脈で明確にすること。

提案手法

• 安定性の障害を研究するための漸近的コホモロジーの変種として、有界コホモロジーの漸近的変種である新しいコホモロジー理論「漸近的コホモロジー」を導入する。
• 格子 $\Gamma$ およびバナッハ $\Gamma$-加群の族 $\mathcal{W}$ に対して、漸近的コホモロジー群 $\mathrm{H}_a^2(\Gamma, \mathcal{W})$ を定義する。これは有限次元ユニタリ表現をモデル化する。
• 第二漸近的コホモロジー群 $\mathrm{H}_a^2(\Gamma, \mathcal{W})$ の消滅が、有限次元ヒルベルト空間上のユニタリ群に対する $\Gamma$ の一様安定性を意味することを証明する。
• 漸近的コホモロジーから有界コホモロジー $\mathrm{H}_b^2(\Gamma, \widetilde{\mathcal{W}})$ への比較写像を確立し、新理論とよく知られた有界コホモロジー不変量との関連を明確にする。
• 高ランク格子における有界コホモロジーの消滅と、放物型部分群の構造を用いて、$\mathrm{H}_a^2(\Gamma, \mathcal{W}) = 0$ を示す。
• マーガリスのスーパー剛性および算術性を活用し、表現の研究をガロアねじれ表現および有限商表現に還元することで、コホモロジー的制御を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第二漸近的コホモロジーの消滅は、高ランク半単純群内の格子に対して一様安定性を意味するか？
• RQ2 漸近的コホモロジーは、有限次元ユニタリ表現の文脈において、有界コホモロジーとウラム安定性の間の橋渡しとして機能するか？
• RQ3 安定性結果に必要な性質 $G(\mathcal{Q}_1, \mathcal{Q}_2)$ は、証明の技術的副産物であるのか、それとも本質的であるのか？
• RQ4 比較写像 $\mathrm{H}_a^2(\Gamma, \mathcal{W}) \to \mathrm{H}_b^2(\Gamma, \widetilde{\mathcal{W}})$ は、安定性の障害をどの程度正確に捉えているか？
• RQ5 漸近的コホモロジーの枠組みは、非均質格子や非アルキメデス的設定へと拡張可能か？

主な発見

• すべての高ランク格子 $\Gamma$ に対して、第二漸近的コホモロジー群 $\mathrm{H}_a^2(\Gamma, \mathcal{W})$ が消える。これは、一様安定性を意味する。
• 有限次元ヒルベルト空間上のユニタリ表現と、乗法的ノルムに関して、すべての高ランク格子 $\Gamma$ に対して一様安定性が成り立つ。
• $\mathrm{H}_a^2(\Gamma, \mathcal{W})$ の消滅は、一様安定性の十分条件であり、アメニタブル群に対するカジランの結果を一般化する。
• 比較写像 $\mathrm{H}_a^2(\Gamma, \mathcal{W}) \to \mathrm{H}_b^2(\Gamma, \widetilde{\mathcal{W}})$ は、一般に単射でも全射でもないが、その核が安定性の障害を捉えている。
• 高ランク単純リー群内の格子に対しては、すべての双対分離可能バナッハ $\Gamma$-加群 $W$ に対して $\mathrm{H}_b^2(\Gamma, W) = 0$ が成り立つ。これは、漸近的コホモロジーとの潜在的関係を示唆する。
• この枠組みは、一様安定性と点ごとの安定性を区別でき、特に $p = \infty$ の場合に、作用素ノルム下で点ごとの安定性が失敗する場合でも、一様安定性が成立することを示している。