[論文レビュー] Asymptotic Complexity Estimates for Probabilistic Programs and Their VASS Abstractions

Michal Ajdarów, Antonı́n Kučera|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Bayesian Modeling and Causal Inference被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、期待値に基づく解析が無限である場合に問題となる確率的プログラムにおける、非決定的要因を含む非定常的漸近的複雑度推定を提案する。VASS MDP（状態付きベクトル加算システム上のマルコフ決定過程）に対して、下界、上界、タイトな複雑度推定を導入し、DAG風MEC分解を有するVASS MDPでは、カウンターや終了の複雑度がnまたはn²で有界であり、多項式時間で決定可能であることを証明する。

ABSTRACT

The standard approach to analyzing the asymptotic complexity of probabilistic programs is based on studying the asymptotic growth of certain expected values (such as the expected termination time) for increasing input size. We argue that this approach is not sufficiently robust, especially in situations when the expectations are infinite. We propose new estimates for the asymptotic analysis of probabilistic programs with non-deterministic choice that overcome this deficiency. Furthermore, we show how to efficiently compute/analyze these estimates for selected classes of programs represented as Markov decision processes over vector addition systems with states.

研究の動機と目的

• 期待値に基づく漸近的複雑度解析が、期待値が無限大である確率的プログラムにおいて不十分であることを是正すること。
• 期待値よりも確率的状況下でより信頼性が高い、下界、上界、タイトな新たな複雑度推定を導入すること。
• 非決定的要因と確率的選択を含む場合に、確率的プログラムの漸近的複雑度をVASS MDPとして抽象化して分析すること。
• DAG風MEC分解や1次元系を含む特定クラスのVASS MDPに関して、複雑度境界の決定可能性と効率的な計算を確立すること。

提案手法

• 期待値に基づく解析の代替として、下界、上界、タイトな新たな複雑度推定を導入する。
• 確率的プログラムを状態付きベクトル加算システム上のマルコフ決定過程（VASS MDP）としてモデル化する。
• 確率的検証およびマルコフ連鎖解析の技術を用いて、カウンタ値と終了時間の上限を求める。
• MEC（最大終端成分）分解に基づく帰納法を用いて、大きなカウンタ値をとる確率を上限付ける。
• 戦略に基づく解析とBSCC（ボトム強連結成分）分類を用いて、有界性と成長率を特定する。
• ハミルトニアン閉路問題からの還元を用いて、複雑度分類問題をNP完全問題に還元し、主要なケースにおいて多項式時間で決定可能であることを実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 期待値が無限大である確率的プログラムにおいて、期待値に基づく漸近的複雑度解析は誤解を招く可能性があるか？
• RQ2 非決定的要因を含む確率的システムにおいて、期待値よりもより堅牢な複雑度推定は存在するか？
• RQ3 DAG風MEC分解を有するVASS MDPにおいて、カウンターや終了複雑度の漸近的成長率として可能なのはどのようなものか？
• RQ4 このようなシステムにおいて、最大カウンタ値がnまたはn²の成長を示すかどうかを多項式時間で決定可能か？
• RQ5 1次元VASS MDPの漸近的複雑度の完全な分類は何か？

主な発見

• DAG風MEC分解を有するVASS MDPでは、最大カウンタ値はn（タイト推定）またはn²（下界推定）の成長を示し、どちらのケースが成り立つかを多項式時間で決定可能である。
• 終了複雑度と遷移複雑度に対しても同様の二分法的性質が成り立ち、ステップカウンタを用いてカウンタ複雑度に符号化可能である。
• 1次元VASS MDPでは、カウンタ複雑度は無限大またはnでタイトに推定可能であり、終了複雑度は無限大、またはnまたはn²でタイトに推定可能である。遷移複雑度は無限大、定数で有界、またはnまたはn²でタイトに推定可能である。
• 1次元VASS MDPのすべての分類問題は多項式時間で決定可能である。
• MDP戦略における非減少BSCCの存在はNP完全であり、これにより有界性と成長率を特徴付ける。
• 有界ゼロBSCCの存在を判定する問題もNP完全であり、これが複雑度分類結果を裏付ける。