[論文レビュー] Asymptotic Correlation Structure of Discounted Incurred But Not Reported Claims under Fractional Poisson Arrival Process

Eric C.K. Cheung, Landy Rabehasaina+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2018

Probability and Risk Models参考文献 45被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、分数ポアソン到着過程を用いて、割引処理を施した未報告の損害（IBNR）請求の漸近的相関構造を、更新密度に基づく再帰的同時モーメント計算を用いて導出する。相関は時間とともにべき則的に減少し、その減衰率は分数パラメータ α と遅延分布に依存しており、特定のパrameter領域では長距離依存性を示すことが明らかになった。

ABSTRACT

This paper studies the joint moments of a compound discounted renewal process observed at different times with each arrival removed from the system after a random delay. This process can be used to describe the aggregate (discounted) Incurred But Not Reported claims in insurance and also the total number of customers in an infinite server queue. It is shown that the joint moments can be obtained recursively in terms of the renewal density, from which the covariance and correlation structures are derived. In particular, the fractional Poisson process defined via the renewal approach is also considered. Furthermore, the asymptotic behaviour of covariance and correlation coefficient of the aforementioned quantities is analyzed as the time horizon goes to infinity. Special attention is paid to the cases of exponential and Pareto delays.

研究の動機と目的

• ランダムな報告遅延を持つ複合割引更新過程を用いて、時間経過に伴う割引IBNR請求の同時行動をモデル化すること。
• 分数ポアソン到着過程下での集計請求プロセスの同時モーメント、共分散、相関構造を導出すること。
• 時間枠が無限大に近づく際の相関係数の漸近的挙動を分析すること。
• 分数ポアソンパラメータ α と遅延分布（指数分布またはパレート分布）が長期的依存性に与える影響を調査すること。
• 重たい尾を持つ到着間隔時間を有する精算およびキューイングシステムにおける長距離依存性の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 各請求がランダムな遅延後に削除される複合割引更新過程を用い、IBNR請求または無限サーバーのキュー長をモデル化する。
• 基礎となる数える過程の更新密度を用いて、再帰的に同時モーメントを導出する。
• ミタグ・レフラー分布を用いた到着間隔時間で定義される分数ポアソン過程を用い、重たい尾を持つ請求到着をモデル化する。
• 同時モーメントから導出された正確な式を用いて、漸近的共分散および相関を分析する。
• 漸近的展開を用いて、特にべき則的減衰を示す相関の長期的挙動を特定する。
• 指数分布およびパレート分布の遅延に対する数値例を提示し、α と δ が平均、分散、相関に与える影響を図示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間 t が無限大に近づく際、二つの異なる時刻における割引IBNR請求間の相関はどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ2 分数ポアソンパラメータ α は、IBNR請求の長期的相関構造にどのように影響を与えるか？
• RQ3 異なる遅延分布（指数分布対パレート分布）は、漸近的相関および α 依存性にどのように影響を与えるか？
• RQ4 モデルは長距離依存性を示すか？ もし示すならば、どのような条件下でそうなるか？
• RQ5 利子率 δ は、割引IBNRプロセスの平均および分散にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 指数分布遅延の場合、Z(s) と Z(t) 間の漸近的相関は t^{-(3−α)/2} に比例して減少し、α < 1 の場合にべき則的減衰と長距離依存性を示す。
• パレート遅延の場合、漸近的相関は α に関して単調でなく、α = η のような臨界値で分散および相関関数に不連続性が観察される。
• Z(t) の漸近的平均は α に応じて増加し、これは到着間隔分布の尾が薄くなるにつれて請求の頻度が上昇することを反映している。
• パレート遅延の場合、Z(t) の漸近的分散は α = η で不連続となり、スケールの制限があるにもかかわらず数値プロットで明確に観察される。
• 固定された s に対して時間 t が経過するにつれて、相関は減少する。これは、初期に報告された請求が後続の時刻ではより確実に報告済みであるためである。
• 利子率 δ の値が高くなると、割引IBNR請求の平均および分散は時間 t が大きくなるにつれて急速にゼロに収束する。