[論文レビュー] Asymptotic density of states in 2d CFTs with non-invertible symmetries

Ying‐Hsuan Lin, Masaki Okada+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2022

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、有限群対称性を持つ2次元CFTにおける状態密度の漸近的性質を、融合カテゴリによって記述される非可逆的対称性へ一般化する。チューブ代数とドリンフェルト中心を導入することで、融合カテゴリの既約表現を同定し、$\dim\mu \cdot \langle\mu, \tau\rangle$に比例する普遍的な漸近公式を導出する。これは、選択則とスペクトル解析を伴うカルディの公式を非可逆的対称性へ拡張するものである。

ABSTRACT

It is known that the asymptotic density of states of a 2d CFT in an irreducible representation $ρ$ of a finite symmetry group $G$ is proportional to $(\dimρ)^2$. We show how this statement can be generalized when the symmetry can be non-invertible and is described by a fusion category $\mathcal{C}$. Along the way, we explain what plays the role of a representation of a group in the case of a fusion category symmetry; the answer to this question is already available in the broader mathematical physics literature but not yet widely known in hep-th. This understanding immediately implies a selection rule on the correlation functions, and also allows us to derive the asymptotic density.

研究の動機と目的

• 2次元CFTにおける有限群対称性に対して既に知られていた普遍的漸近的状態密度公式を、融合カテゴリによって記述される非可逆的対称性へ拡張すること。
• チューブ代数とドリンフェルト中心の構成を用いて、融合カテゴリ対称性の文脈における群表現のカテゴリカルな一般化を明確化すること。
• 融合カテゴリ対称性構造に起因する相関関数における選択則を同定すること。
• ドリンフェルト中心における任意の任意粒子$\mu$でラベルされたセクターにおける、状態密度の普遍的漸近公式を、大中心電荷極限において確立すること。

提案手法

• 融合カテゴリ$\mathcal{C}$からチューブ代数$\mathrm{Tube}(\mathcal{C})$を構成し、これにより対称性の既約表現を分類する。
• ドリンフェルト中心$\mathcal{Z}(\mathcal{C})$を用いて、融合カテゴリ対称性の既約表現を分類し、群表現を一般化する。
• 融合規則を符号化する行列$\mathbf{N}_\rho$を用いて、ねじれ$\tau$を持つ任意粒子鎖の漸近的ヒルベルト空間次元$\dim\mathcal{H}_{\tau;\mu}^{(L)}$を定義する。
• 非負行列$\mathbf{N}_\rho$に対してペロン＝フロベニウス理論を適用し、状態数の$ L \to \infty $における漸近挙動を分析する。
• 漸近公式$\lim_{L\to\infty} \frac{\dim\mathcal{H}_{\tau;\mu}^{(L)}}{r^L} \propto \langle\mu,\tau\rangle \dim\mu$を導出する。ここで$r$はスペクトル半径である。
• スペクトルにおける周期性$h$を考慮し、漸近挙動を安定化させるために、$h$個の連続する$L$値での平均をとる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限群の表現という概念を、2次元CFTにおける非可逆的対称性を記述する融合カテゴリへどのように一般化できるか？
• RQ2 非可逆的対称性における漸近的状態密度において、群対称性の際の$(\dim\rho)^2$比例要因の正しい類似物は何か？
• RQ3 融合カテゴリ対称性に起因する相関関数に現れる選択則は何か？ そして、それらはどのようにカテゴリカルに符号化されるか？
• RQ4 ドリンフェルト中心$\mathcal{Z}(\mathcal{C})$の既約セクターに沿った、漸近的状態密度はどのように分解されるか？
• RQ5 融合行列$\mathbf{N}_\rho$のスペクトル半径と周期性が、ヒルベルト空間次元の$ L \to \infty $における極限において果たす役割は何か？

主な発見

• 融合カテゴリ対称性$\mathcal{C}$をもつ2次元CFTにおける漸近的状態密度は、$\dim\mu \cdot \langle\mu, \tau\rangle$に比例する。ここで$\mu$はドリンフェルト中心$\mathcal{Z}(\mathcal{C})$に属する任意粒子を表し、$\tau$はねじれラベルである。
• 比例要因は、群対称性における$(\dim\rho)^2$則を融合カテゴリへ一般化したものであり、今や量子次元$\dim\mu$と$\mathcal{Z}(\mathcal{C})$における融合係数$\langle\mu, \tau\rangle$を含む。
• ヒルベルト空間が$\mathcal{Z}(\mathcal{C})$-既約表現に分解されることに起因する相関関数における選択則が生じ、許可される演算子挿入を制限する。
• ヒルベルト空間次元$\dim\mathcal{H}_{\tau;\mu}^{(L)}$の$ L \to \infty $における漸近挙動は、融合行列$\mathbf{N}_\rho$のスペクトル半径$r$によって支配され、収束速度はペロン＝フロベニウス固有ベクトルによって決定される。
• 融合行列$\mathbf{N}_\rho$の周期性$h > 1$がある場合、漸近公式は、極限を安定化させるために、$h$個の連続する$L$値での平均をとる必要がある。
• 周期性が存在する場合でさえも、普遍的な漸近公式$\lim_{L\to\infty} \frac{1}{h}\sum_{\ell=L}^{L+h-1} \frac{\dim\mathcal{H}_{\tau;\mu}^{(\ell)}}{r^{\ell}} \propto \langle\mu,\tau\rangle \dim\mu$が成り立つ。