[論文レビュー] Asymptotic development for the CLT in total variation distance

Vlad Bally, Lucia Caramellino|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2014

Probability and Risk Models参考文献 17被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、同分布の和項の分布が局所的下界性を満たす条件下で、多次元中心極限定理の合計変動距離における漸近展開を確立する。マリヤンヴィン計算と部分積分を用いて、和項が標準正規分布と $ r+1 $ 階モーメントまで一致する場合、$ n^{-(r-1)/2} $ 階の明示的誤差項を導出する。近似測度は高階補正項を用いて明示的に構成される。

ABSTRACT

The aim of this paper is to study the asymptotic expansion in total variation in the Central Limit Theorem when the law of the basic random variable is locally lower-bounded by the Lebesgue measure (or equivalently, has an absolutely continuous component): we develop the error in powers of $n^{-1/2}$ and give an explicit formula for the approximating measure.

研究の動機と目的

• 同分布の確率的ベクトルの正規化された和と標準正規分布との間の合計変動距離の漸近展開を確立すること。
• 元の分布のモーメントおよび正則性条件のもとで、$ n^{-1/2} $ の累乗における明示的誤差項を導出すること。
• マリヤンヴィン計算と部分積分を用いて、ガウス近似の高階補正を捉える近似測度を明示的に構成すること。
• 既知の $ L^1 $-密度収束結果を、明確な収束速度を伴う合計変動距離へ一般化すること。
• 和項の分布に関する正則性仮定を用いて、高次元および非原子的設定における収束速度を研究する枠組みを提供すること。

提案手法

• 同分布の和項 $ F $ の分布が、ある開集合 $ D_0 $ 上でLebesgue測度により局所的に下界を持つと仮定し、絶対連続成分の存在を保証する。
• 抽象的マリヤンヴィン計算を用いて、$ S_n $ の密度関数に対する部分積分公式を導出し、合計変動距離の高階展開を可能にする。
• 正則化関数と切断技術を用いて、密度関数の微分およびそのモーメントをSobolev型ノルムで制御する。
• ガウス分布に対して後退的テイラー型展開を適用し、$ S_n $ の分布と標準正規分布との差をテスト関数の微分で表現する。
• マリヤンヴィン微分および共分散行列のバウンドを用いて、$ S_n $ の密度関数のモーメント推定を導出し、$ L^p $-ノルムの制御を得る。
• 上記の手法を局所化の議論と組み合わせ、$ F $ のモーメントのみに依存する合計変動距離の均一なバウンドを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規化された和 $ S_n $ と標準正規分布との間の合計変動距離がゼロに収束するための条件は何か？
• RQ2 和項が十分なモーメントを持つ場合、合計変動誤差の $ n^{-1/2} $ の累乗における漸近展開を導出可能か？
• RQ3 和項の分布が絶対連続成分を持つ場合、合計変動距離における収束の正確な速度は何か？
• RQ4 合計変動距離の意味で、ガウス近似の高階補正をどのように明示的に構成できるか？
• RQ5 マリヤンヴィン計算とモーメント条件を用いて、収束速度をどの程度明確に定量化できるか？

主な発見

• 分布 $ F $ がLebesgue測度により局所的に下界を持つ限り、$ n \to \infty $ のとき合計変動距離 $ d_{TV}( u_n, \bar{\nu}) $ はゼロに収束する。
• $ r \times 2 $ に対して、$ F \times L^{r+1}(\nabla) $ かつ $ r $ 階までのモーメントが標準正規分布と一致する場合、$ d_{TV}(\nu_n, \bar{\nu}) \times C(1 + \nabla F \nabla^{r+1})^{[r/3] \vee 1} \times n^{-(r-1)/2} $ が成り立つ。
• 展開における近似測度は、密度関数の高階微分および部分積分恒等式を用いて明示的に構成される。
• 誤差項は一様であり、$ F $ の $ (r+1) $ 階モーメントのみに依存し、収束速度 $ n^{-(r-1)/2} $ を示し、以前の $ L^1 $-密度収束結果を改善する。
• 局所的下界性条件 (1.1) は絶対連続性よりも厳密に弱いが、展開に必要な十分な正則性を持つ密度の存在を保証する。
• この手法は多次元の場合に拡張可能であり、非退化なマリヤンヴィン共分散行列を持つウィエンル空間上の汎関数に対しても適用可能であり、分布が絶対連続でない場合でも成立する。