[論文レビュー] Asymptotic distribution of the Markowitz portfolio

Steven E. Pav|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2013

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 60被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、一般のモーメント条件および多変量正規性の下で、マーケィッツ・ポートフォリオの漸近的分布を導出し、異分散性および自己相関に対しても頑健な推論を可能にする。また、精度行列とマーケィッツ・ポートフォリオの線形結合に対する尤度比検定を提供し、誤差分解やポートフォリオの縮小に応用可能である。

ABSTRACT

The asymptotic distribution of the Markowitz portfolio is derived, for the general case (assuming fourth moments of returns exist), and for the case of multivariate normal returns. The derivation allows for inference which is robust to heteroskedasticity and autocorrelation of moments up to order four. As a side effect, one can estimate the proportion of error in the Markowitz portfolio due to mis-estimation of the covariance matrix. A likelihood ratio test is given which generalizes Dempster's Covariance Selection test to allow inference on linear combinations of the precision matrix and the Markowitz portfolio. Extensions of the main method to deal with hedged portfolios, conditional heteroskedasticity, conditional expectation, and constrained estimation are given. It is shown that the Hotelling-Lawley statistic generalizes the (squared) Sharpe ratio under the conditional expectation model. Asymptotic distributions of all four of the common `MGLH' statistics are found, assuming random covariates. Examples are given demonstrating the possible uses of these results.

研究の動機と目的

• 四次のモーメントが存在する一般のモーメント条件の下で、標本マーケィッツ・ポートフォリオの漸近的分布を導出し、頑健な統計的推論を可能にする。
• リターンのモーメントのうち四次のまでに及ぶ異分散性および自己相関に対応する推論を拡張する。
• リターンの平均推定が誤差を支配すると一般的に信じられているが、その誤差のうち共分散行列の誤推定に起因する割合を推定する。
• デムプスターの共分散選択検定を一般化し、精度行列とマーケィッツ・ポートフォリオの線形結合に対する推論を可能にする。
• ヘッジド・ポートフォリオ、条件付き異分散性、条件付き期待値、制約付き推定に対応するフレームワークを統合的に拡張する。

提案手法

• マーケィッツ・ポートフォリオを線形回帰問題として定式化し、一般のモーメント条件の下で漸近的正規性を導出する。
• $Θ = ℚ[×׆]$　（$× = [1, ׆]†$）を用いて、マーケィッツ・ポートフォリオを $Θ$ の逆行列と関連付ける。
• i.i.d. なリターン（四次のモーメントが有限）を仮定し、$××$ の標本2次モーメントに中心極限定理を適用することで、$ˇν_*$ の漸近的分布を導出する。
• $ˇν_*$ と $ˇΣ^{-1}$ の漸近的共分散を導出し、誤差分解および縮小推定を可能にする。
• 多変量正規性の下で、$ν_*$ と $Σ^{-1}$ の線形結合に対する尤度比検定を構築し、デムプスターの検定を一般化する。
• ホットテリング＝ローリー統計量が、条件付き期待値モデル下で平方シャープレシオを一般化することを示し、古典的統計とポートフォリオパフォーマンス指標を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 四次のモーメントが存在するがそれ以上の制約がない場合、標本マーケィッツ・ポートフォリオの漸近的分布は何か。また、異分散性および自己相関に対しても推論が頑健であるようにはできるか？
• RQ2 マーケィッツ・ポートフォリオの推定誤差のうち、共分散行列の誤推定と平均ベクトルの誤推定のどちらに起因する割合が大きいのか？
• RQ3 精度行列とマーケィッツ・ポートフォリオの線形結合に対する尤度比検定を開発可能か。これにより、既存の検定を一般化できるか？
• RQ4 4つの一般的なMGLH統計量（例：ホットテリング＝ローリー）の漸近的分布は、確率的共変数および一般のモーメント条件の下でどのように振る舞うか？
• RQ5 このフレームワークを、ヘッジド・ポートフォリオ、条件付き異分散性、制約付き推定を統合的に扱えるように拡張可能か？

主な発見

• リターンの四次のモーメントが有限である限り、標本マーケィッツ・ポートフォリオ $ˇν_*$ は漸近的に正規分布に従う。
• $ˇν_*$ の漸近的共分散は、四次のモーメントにおける異分散性および自己相関に対しても推定可能かつ頑健である。
• 導出された漸近的共分散構造から、マーケィッツ・ポートフォリオの誤差のうち共分散行列の誤推定に起因する割合を直接推定可能である。
• 多変量正規リターンの下で、デムプスターの共分散選択検定を一般化した尤度比検定が導出され、精度行列とマーケィッツ・ポートフォリオの線形結合に対する推論が可能になる。
• ホットテリング＝ローリー統計量が、条件付き期待値モデル下で平方シャープレシオを一般化することを示し、パフォーマンス評価のための統一的統計フレームワークを提供する。
• 確率的共変数の下で、4つのMGLH統計量（例：ピルライのトレース、ウィルクスのラムダ）の漸近的分布が導出され、古典的多変量解析をポートフォリオ文脈に拡張する。