[論文レビュー] Asymptotic efficiency of p-mean tests for means in high dimensions

Iosif Pinelis|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2010

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、高次元設定における多変量平均ベクトルのp-平均検定の漸近的相対効率（ARE）を分析しており、p > 2の場合、標準的有意度比検定（LRT）よりも著しく優れる可能性があるが、常に著しく劣るとは限らないことを示している。主な結果は、p = 3の場合、AREp,2は代替平均ベクトルの方向に応じて約0.96から無限大まで変動する。これは、サンプルサイズと平均ベクトルの大きさの漸近的挙動に関する一般的で自然な条件下で成り立つ。

ABSTRACT

The asymptotic efficiency, ARE_{p,2}, of the tests for multivariate means theta in \R^d based on the p-means relative to the standard 2-mean, (approximate) likelihood ratio test (LRT), is considered for large dimensions d. It turns out that these p-mean tests for p>2 may greatly outperform the LRT while never being significantly worse than the LRT. For instance, ARE_{p,2} for p=3 varies from about 0.96 to \infty, depending on the direction of the alternative mean vector theta_1, for the null hypothesis H_0: theta=\0. These results are based on a complete characterization, under certain general and natural conditions, of the varying pairs (n,theta_1) for which the values of the power of the p-mean test for theta=\0 and theta=theta_1 tend, respectively, to prescribed values alpha and beta. The proofs use such classic results as the Berry-Esseen bound in the central limit theorem and the conditions of convergence to a given infinitely divisible distribution, as well as a recent result by the author on the Schur^2-concavity properties of Gaussian measures.

研究の動機と目的

• 高次元多変量平均検定において、p-平均検定の漸近的相対効率（ARE）を標準的2-平均（LRT）と比較して調査すること。
• 大次元dにおいて、p-平均検定が所望のパワー水準に達するための条件を特定すること。
• p > 2の場合、p-平均検定がLRTを著しく上回りつつも、性能に著しい劣化がない状況を特定すること。

提案手法

• 帰無仮説H₀および対立仮説H₁の下で、p-平均検定のパワーが所定の水準αおよびβに収束するような、漸近的に十分な（AS）ペアおよびトリプル（n, θ₁）の完全な特徴付けを用いる。
• 中心極限定理におけるBerry-Esseenの不等式や、無限に分割可能な分布への収束条件といった古典的手法を適用する。
• 最近得られたガウス測度のSchur²-凸性に関する結果を活用し、p-平均統計量の挙動を分析する。
• p ∈ [−∞, ∞] における標本平均ベクトルのp-平均（1/d ∑|xⱼ|ᵖ）¹ᐟᵖ を分析し、p = 0（幾何平均）、p = ∞（最大値）、p = −∞（最小値）の極限を含む。
• p-平均検定とLRTが同じパワーを達成するために必要なサンプルサイズの比として、漸近的相対効率（AREp,2）を導出する。
• 座標の置換と符号反転の群Gdを考慮し、p-平均統計量に基づくGd-不変検定を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代替平均ベクトルθ₁のどの方向に対して、p > 2のp-平均検定がLRTよりも高い漸近的相対効率を達成するか？
• RQ2 高次元設定において、p > 2のp-平均検定の漸近的相対効率（AREp,2）の範囲は何か？
• RQ3 p-平均検定が平均ベクトルの異なる方向に対しても高いパワーを維持し、方向性に強く依存しない状況はどのような条件か？
• RQ4 真の平均ベクトルに僅かに支配的成分しか持たない場合、pの選択がLRTに対する検定の効率にどのように影響するか？
• RQ5 特に平均ベクトルがスパースな場合、p-平均検定が高次元でLRTを一貫して上回る可能性はあるか？

主な発見

• p = 3の場合、p-平均検定のLRTに対する漸近的相対効率（AREp,2）は、代替平均ベクトルθ₁の方向に応じて約0.96から無限大まで変動する。
• p > 2のp-平均検定は、高次元設定においてLRTを著しく上回る可能性がある。特に真の平均ベクトルに僅かに支配的成分しか持たない場合に顕著である。
• p-平均検定は、LRTよりも著しく劣る性能を示すことはなく、さまざまな平均ベクトル構成に対して一貫したロバストネスを示す。
• サンプルサイズnと代替平均ベクトルθ₁のノルムの漸近的挙動に関する一般的で自然な条件下で、漸近的相対効率が完全に特徴付けられる。
• 分析により、p-平均検定が漸近的に十分であり、そのパワー挙動が主要化および確率的順序の原理に従うことが確認された。
• Berry-Esseenの不等式、無限に分割可能な分布への収束、ガウス測度のSchur²-凸性といった高度な道具を用いて結果が導出された。