[論文レビュー] Asymptotic enumeration of labelled graphs with a given genus

Edward A. Bender, Zhicheng Gao|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2009

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 27被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、生成関数およびマップ列挙技術を用いて、可定向的 genus g のラベル付き k-連結グラフ (k=1,2,3) の漸近公式を導出する。2-および3-連結マップの表面における正確な漸近的表現を確立し、その後、組合せ的双対性および特異性解析を用いてこれらをラベル付きグラフの漸近的数え上げに翻訳する。その結果、genus およびグラフパラメータの関数として、明示的な指数関数的および多項式的成長率が得られる。

ABSTRACT

We enumerate rooted 2-connected and 3-connected surface maps with respect to vertices and edges. We also derive the bivariate version of the large face-width result for random 3-connected maps. These results are then used to derive asymptotic formulas for the number of labelled graphs of genus g (1-connected, 2-connected, and 3-connected graphs.)

研究の動機と目的

• 可定向的 genus g のラベル付き k-連結グラフの数の漸近的公式を導出すること（k=1,2,3 について）。
• Tutteのルート付きマップ列挙フレームワークを、2-および3-連結マップの高 genus 表面へ拡張すること。
• 組合せ的双対性および漸近的解析を通じて、マップ列挙とラベル付きグラフ列挙との間の関係を確立すること。
• 固定 genus g の可定向的表面に埋め込めるラベル付きグラフの正確な漸近的成長率を提供すること。
• 既知のマップ漸近的定数 t_g を用いて、漸近的公式における明示的定数および関数的依存関係を計算すること。

提案手法

• ルート付きでラベルなしの k-連結マップの母関数 M̂_g,k(x,y) と、ラベル付き単純 k-連結グラフの母関数 G_g,k(x,y) を用いる。
• 既存の研究で得られた漸近的定数 t_g を活用し、genus g の表面におけるマップの母関数に対する特異性解析を適用する。
• 頂点数 n、辺数 m、genus g の関数として、代数的関数 r_k(m/n) および補助関数 η_k(r)、C_k(r) を用いた、マップ数 M̂_g(n,m;k) の2変数漸近的公式を導出する。
• 3-連結グラフに関しては、重要な恒等式 G_g(n,m;k)/n! ~ M̂_g(n,m;k)/(4m) を用いて、マップの漸近的性質をラベル付きグラフの漸近的性質に翻訳する。
• 2-連結グラフに関しては、t をパrameterとするパラメータ化を用い、表面トポロジーを捉えるために genus 依存係数 B_g(t) を導入する。
• マップにおける頂点と面の双対性およびオイラーの公式を用いて、頂点数と面数の関係を確立し、漸近的性質の転送を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可定向的 genus g のラベル付き 3-連結グラフの漸近的数え上げは、n と m の関数としてどのように表されるか？
• RQ2 genus g の表面における 2-および3-連結マップの漸近的数え上げは、同じ genus のラベル付きグラフの数え上げとどのように関係するか？
• RQ3 ラベル付き k-連結グラフ (k=1,2,3) の genus g における漸近的成長率の正確な関数的形は、n、m、g の関数としてどのように表されるか？
• RQ4 漸近的公式における定数は genus g に依存するが、それらは再帰的または明示的に計算可能か？
• RQ5 非可定向的表面におけるマップの漸近的挙動も同様に分析可能か？また、可定向的ケースと比較して定数はどのように異なるか？

主な発見

• 3-連結グラフに関しては、n,m→∞ かつ m/n ∈ [(3/2)+ε, 3−ε] の範囲で、G_g(n,m;3)/n! ~ M̂_g(n,m;3)/(4m) が一様に成立し、マップとグラフの数え上げの直接的な関連が確立される。
• 3-連結グラフの漸近的数え上げは、C_3(r)A_g(r)(2+r)^{(5g−3)/2} n^{5g/2−3} ρ(r)^{-n} η_3(r)^{-m} で与えられ、r、C_3(r)、η_3(r) は明示的な代数的関数である。
• 2-連結グラフに関しては、t を用いたパラメータ化が導入され、B_g(t) = [(8/9)(1+t)/(1−t)^6 (β(t)/α(t))^{5/2}]^{g−1} であり、数え上げは n^{5g/2−4} ρ_2(t)^{-n} λ_2(t)^{-m} のようにスケーリングされる。
• 頂点数のみの数え上げに関しては、G_g(n;k)/n! ~ α_k β_k^g t_g n^{5g/2−7/2} x_k^{-n} が成り立ち、明示的な定数として x_3 ≈ 0.04751、β_3 ≈ 1.48590×10^5、α_3 = 1/(4β_3) が得られる。
• genus 依存係数 A_g(r) は、A_g(r) = [r^6(2+r)^{3/2}/(2√π(1+2r)^2)] × [(12(1+2r)^4(1+r)^3)/(r^{12}(2+r)^5)]^{g/2} t_g として導出される。
• 本稿では、漸近的定数 t_g が a_g を含む再帰的関係式により再帰的に計算可能であり、t_g が a_g および Γ-関数を用いて表されることを示している。