[論文レビュー] Asymptotic enumeration of vertex-transitive graphs of fixed valency

Primož Potočnik, Pablo Spiga+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2012

Finite Group Theory Research参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、n 以下の位数をもつ d-正則頂点推移的グラフの同型類の数に対する漸近的上限を確立し、log(CAY_d(n)) が Θ(d(log n)^2) のオーダーで増加することを示している。3-正則グラフ（d=3）の場合には、より強い上限が得られており、ほぼすべての同様のグラフがカイリ図（Cayley graph）であり、ほぼすべてのカイリ図が GRR（グラフィカル正則表現）であると予想されている。これらの結果は群論的技法およびコセットグラフ構成に依拠している。

ABSTRACT

Let $G$ be a group and let $S$ be an inverse-closed and identity-free generating set of $G$. The \emph{Cayley graph} $\Cay(G,S)$ has vertex-set $G$ and two vertices $u$ and $v$ are adjacent if and only if $uv^{-1}\in S$. Let $CAY_d(n)$ be the number of isomorphism classes of $d$-valent Cayley graphs of order at most $n$. We show that $\log(CAY_d(n))\inΘ(d(\log n)^2)$, as $n o\infty$. We also obtain some stronger results in the case $d=3$.

研究の動機と目的

• n 以下の位数をもつ d-正則頂点推移的グラフの同型類の数の漸近的増加率を理解すること。
• n が増加する際、頂点推移的グラフのうちカイリ図または GRR（グラフィカル正則表現）である割合を調査すること。
• 群論的および組合せ的技法を用いて、このようなグラフの数に対するタイトな漸近的上限を確立すること。
• 3-正則で5-弧推移的グラフのような高対称性を持つグラフが、漸近的条件下でどれほど豊富に存在するかを調査すること。

提案手法

• 有限生成群における正規部分群の成長に関する結果を用いて、d-正則カイリ図の数に対する上界を導出する。
• 3-正則頂点推移的グラフの自己同型群の成長に関する最近の結果を応用し、d=3 の場合の上界を強化する。
• 有限部分群に沿った群の結合体のコセットグラフを用いて、3-正則で5-弧推移的グラフの無限族を構成する。
• 自由群の p-進完備化を用いて、群 G の有限指数の正規部分群を数え上げ、グラフの数に対する下界を得る。
• 各正規部分群 M ≤ N で |G:M| ≤ 48n を満たすものに対して、コセットグラフ構成により3-正則で5-弧推移的グラフが得られることを活用する。
• G が6生成であることを用いて、異なる正規部分群から生じる同型なグラフの数を、全射準同型の数で抑え、その上限は |G/M|⁶ である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n 以下の位数をもつ d-正則頂点推移的グラフの同型類の数は、n が大きくなるにつれてどのように漸近的に増加するか？
• RQ2 n → ∞ のとき、d-正則頂点推移的グラフのうちカイリ図である割合はどの程度か？
• RQ3 極限において、ほぼすべての d-正則カイリ図が GRR であると予想できるか？
• RQ4 3-正則で5-弧推移的グラフは漸近的にどれほど豊富に存在するか？
• RQ5 群論的構成を用いて、このような対称的グラフ族の増加率を下から抑えられるか？

主な発見

• 任意の d ≥ 3 に対して、n 以下の位数をもつ d-正則カイリ図の同型類の数について、log(CAY_d(n)) ∈ Θ(d(log n)^2) が成り立ち、CAY_d(n) = n^{Θ(d log n)} であることが示された。
• d = 3 の場合、n 以下の位数をもつ GRR の数について、n^{a log n} - c ≤ GRR_3(n) ≤ n^{b log n} が、ある正の定数 a, b, c に対して成り立つ。
• n 以下の位数をもつ 3-正則で5-弧推移的グラフの数は、ある a, b > 0 に対して n^{a log n} - b 以上である。これは、それらが漸近的に豊富に存在することを示している。
• CAY_d(n) の上界は、有限生成群における正規部分群の成長に着目し、群のランクが r のとき、指数 ≤ n である正規部分群の数が n^{O(r log n)} で抑えられることを用いて導出された。
• 3-正則で5-弧推移的グラフの下界は、ランク ≥ 2 の自由群 N の正規部分群からコセットグラフを構成することで得られた。|G:M| ≤ 48n を満たすような部分群は少なくとも n^{a' log n} - b' 個存在する。
• 3-正則で5-弧推移的グラフの同型類の数は、|𝒩_n| / (48n)^6 以上である。ここで |𝒩_n| ≥ n^{a' log n} - b' であるため、最終的な下界は n^{a log n} - b の形をとる。