[論文レビュー] Asymptotic evaluation of the matrix permanents giving the bosonic probability amplitudes in linear unitary networks

V. S. Shchesnovich|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2013

Optical Network Technologies被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、ボソンの数 $N$ がモード数 $M$ よりも著しく大きい場合の有限モード線形ユニタリネットワークにおけるボソン確率振幅を推定する漸近的解析的手法を開発する。多変数積分表現に対して鞍点法を適用し、ユニタリ行列のスケーリング問題を解くことで、$¯{1/N}$ 残差の精度を持つ近似を導出する。これにより、2モードおよび3モードネットワークにおける単純な鞍点に対応する明示的公式が得られる。

ABSTRACT

An asymptotic analytical approach is proposed for bosonic probability amplitudes in unitary linear networks, such as the optical multiport devices for photons. The asymptotic approach applies for large number of bosons $N\gg M$ in the $M$-mode network, where $M$ is finite. The probability amplitudes of $N$ bosons unitarily transformed from the input modes to the output modes of a unitary network are expressed through a multidimensional integral with the integrand containing a large parameter (N) in the exponent. The integral representation allows an asymptotic estimate of bosonic probability amplitudes up to a multiplicative error of order 1/N by the saddle point method. The estimate depends on solution of the scaling problem for the $M imes M$-dimensional unitary network matrix: to find the left and right diagonal matrices which scale the unitary matrix to a matrix which has specified row and column sums (equal, respectively, to the distributions of bosons in the input and output modes). The scaled matrices give the saddle points of the integral. For simple saddle points, an explicit formula giving the asymptotic estimate of bosonic probability amplitudes is derived. Performance of the approximation and the scaling of the relative error with N are studied for two-mode network (the beam-splitter), where the saddle-points are roots of a quadratic and an exact analytical formula for the probability amplitudes is available, and for three-mode network (the tritter).

研究の動機と目的

• ユニタリ線形ネットワーク内でのボソン確率振幅を、$N \gg M$ の場合に漸近的に推定する手法を開発すること。
• 多数のボソンを含む量子光学ネットワークにおける高次元的永久行列に類似した振幅の計算という課題に取り組むこと。
• このような振幅に対して、誤差スケーリングを制御可能な体系的な近似手法を提供すること。
• ビームスプリッタおよびトリッタのような簡単なケースにおける漸近的推定の明示的公式を導出すること。

提案手法

• 指数部に大きなパラメータ $N$ を含む多変数積分としてボソン確率振幅を表現する。
• 積分を近似するために鞍点法を適用し、主要寄与は鞍点からの寄与であることを特定する。
• スケーリング問題を定式化する：ユニタリ行列を左および右の対角行列でスケーリングし、行および列の和が入力および出力ボソン分布と一致するようにする。
• スケーリング問題を解くことで、複素数領域における鞍点の位置を特定する。
• 鞍点が単純な場合の振幅に対する明示的漸近公式を導出する。
• 正確な解析的結果と比較して、2モード（ビームスプリッタ）および3モード（トリッタ）ネットワークにおいて数値的に近似を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボソンの数 $N$ がモード数 $M$ よりも著しく大きい場合、有限モード線形ユニタリネットワーク内のボソン確率振幅はどのように近似できるか？
• RQ2 大 $N$ の極限において、振幅積分の主要寄与の構造は何か？
• RQ3 ユニタリ行列のスケーリング問題は、漸近的近似における鞍点の位置とどのように関係するか？
• RQ4 漸近的近似の精度はどの程度で、相対誤差は $N$ に対してどのようにスケーリングされるか？
• RQ5 この手法は、ビームスプリッタやトリッタのような簡単なネットワークにおける振幅に対して明示的公式を導けるか？

主な発見

• 鞍点法を用いたボソン振幅の漸近的近似は、乗法的誤差が $¯{1/N}$ のオーダーで達成される。
• 鞍点は、ユニタリ行列の行および列の和を入力および出力ボソン分布に一致させるための行列スケーリング問題を解くことで特定される。
• 2モードのビームスプリッタでは、鞍点は2次方程式の根に対応し、漸近的公式は制御された誤差で正確な振幅と一致する。
• 3モードのトリッタでは、同様に誤差スケーリングが定量的に予測可能に振幅を推定できた。
• 相対誤差は $N$ が増加するにつれて減少し、このアプローチの漸近的妥当性が裏付けられた。
• 鞍点が非退化で単純な場合、漸近的振幅の明示的解析的公式が導出された。