[論文レビュー] Asymptotic expansion of a variation with anticipative weights

Nakahiro Yoshida|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 74被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、マリヤン・カウルススとスコロホド積分理論を用いて、予測不能（アンチシパティブ）な重みを有するウィエンヤン過程の変種に対する漸近展開を開発する。ウィエンヤン関数への指数に基づく分類法を新たに導入し、確率的展開を体系的に分析する。その結果、準ねじれ（quasi-torsion）、準接線（quasi-tangent）、その他の確率的記号を含む展開式が得られ、高頻度ファイナンスにおけるロバストなボラティリティ推定への応用が示される。

ABSTRACT

Asymptotic expansion of a variation with anticipative weights is derived by the theory of asymptotic expansion for Skorohod integrals having a mixed normal limit. The expansion formula is expressed with the quasi-torsion, quasi-tangent and other random symbols. To specify these random symbols, it is necessary to classify the level of the effect of each term appearing in the stochastic expansion of the variable in question. To solve this problem, we consider a class ${\cal L}$ of certain sequences $({\cal I}_n)_{n\in{\mathbb N}}$ of Wiener functionals and we give a systematic way of estimation of the order of $({\cal I}_n)_{n\in{\mathbb N}}$. Based on this method, we introduce a notion of exponent of the sequence $({\cal I}_n)_{n\in{\mathbb N}}$, and investigate the stability and contraction effect of the operators $D_{u_n}$ and $D$ on ${\cal L}$, where $u_n$ is the integrand of a Skorohod integral. After constructed these machineries, we derive asymptotic expansion of the variation having anticipative weights. An application to robust volatility estimation is mentioned.

研究の動機と目的

• アンチシパティブ重み（ブラウン運動のフィルトレーションに適応しない）を有するウィエンヤン過程の変動に対する漸近展開を導出すること。
• ウィエンヤン関数の系列を含む確率的展開の次数を推定するための体系的枠組みを構築すること。
• 各項の寄与度を分類するための「指数」の概念を導入・分析すること。
• 新たに定義された関数のクラス $\mathcal{L}$ において、マリヤン微分作用素と拡散作用素の安定性および収縮性を確立すること。
• 得られた展開を統計的問題、特に高頻度データにおけるロバストなボラティリティ推定に応用すること。

提案手法

• 本稿は、混合正規極限を伴うスコロホド積分のための漸近展開理論を基礎的枠組みとして用いる。
• 変動変数の確率的展開を分析するため、関数の系列 $({\cal I}_n)_{n\in\mathbb{N}}$ のクラス $\mathcal{L}$ を定義する。
• 多重ウィエンヤン積分およびその微分の構造に基づき、展開における各項のオーダーの大きさを分類するための新しい「指数」の概念を導入する。
• 積分とモーメント推定を用いて、多重ウィエンヤン積分およびその微分の $L^p$-ノルムを推定する。
• 展開の再帰的構造を用いて、クラス $\mathcal{L}$ 上でのマリヤン微分作用素 $D$ および拡散作用素 $\delta$ の安定性および収縮効果を分析する。
• マルティンゲール型分解と、準ねじれおよび準接線記号の微分の上界を用いて、展開を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アンチシパティブ重み付きの確率的展開における各項のオーダーを体系的に分類・推定する方法は何か？
• RQ2 マリヤン微分作用素および拡散作用素は、このような展開の漸近的挙動を制御するために果たす役割は何か？
• RQ3 ウィエンヤン関数の系列の指数が、展開における主要寄与項をどのように決定するか？
• RQ4 作用素 $D_{u_n}$ および $D$ がクラス $\mathcal{L}$ 上で安定性および収縮性を示すための条件は何か？
• RQ5 得られた展開は、高頻度金融データにおけるロバストなボラティリティ推定の改善に応用可能か？

主な発見

• 変動 $V_n$ の漸近展開が、準ねじれ、準接線、その他の確率的記号を用いて導出され、中心極限定理をはるかに超える精密な近似が可能となる。
• 系列 $({\cal I}_n)$ の指数が定義され、各項の寄与度の分類に用いられ、展開における正確なオーダー推定が可能となる。
• 適切な条件下で、展開の剰余項の $L^p$-ノルムが $O(n^{-1})$ であることが示され、従来の境界を改善する。
• 多重ウィエンヤン積分の多項式に対して、$L^{2k}$-ノルムが $C n^{-\frac{1}{2}\xi}$ で有界であることが示され、$\xi = \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} - m - \#\{i: p_i \geq 2 \text{ かつ } p_i q_i \text{ が偶数}\}$ である。これにより、鋭い減衰レートが確立される。
• 準ねじれの微分に対して $\|D_{u_n}D_{u_n}D_{u_n}M_n\|_p = o(r_n)$ が成り立つことが示され、これはマルティンゲール展開アプローチにとって不可欠である。
• ロバストなボラティリティ推定への応用が提示され、拡張の統計的推論における拡散過程への関連性が示される。