[論文レビュー] Asymptotic expansion of Markov random evolution

Igor Samoilenko|ArXiv.org|Nov 1, 2009

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$ℝ^d$ 上の特異摂動付きマコフ確率的変動方程式の解に対して、$ε$ をパラメータとする多スケール展開を用いて、解を正則部と特異部（境界層）に分解する厳密な漸近展開を開発する。主な貢献は、特異項に依存せずに正則部を独立に決定する構成的アルゴリズムであり、剰余項に対して明示的な推定式が得られ、収束解析および拡散近似の分野で既存手法を改善する。

ABSTRACT

Is studied asymptotic expansion for solution of singularly perturbed equation for Markov random evolution in Rd. The views of regular and singular parts of solution are found.

研究の動機と目的

• 小パrameter $ε \to 0$ の下でのマコフ確率的変動（MRE）の漸近的挙動を分析すること。
• 解を正則部と特異部（境界層）に分解し、高速・低速ダイナミクスを捉えること。
• 特異項に依存せずに正則部の展開を計算する再帰的アルゴリズムを開発すること。
• $C^2$ 測度関数に対して、漸近展開の剰余項に関する明示的推定式を導出すること。
• 流体力学的極限および拡散近似フレームワークにおける収束解析を改善すること。

提案手法

• $ε$ のべき級数としての形式的漸近展開を $Φ_t^\varepsilon(u,x) = u^{(0)}(t) + \sum_{k=1}^\infty \varepsilon^k [u^{(k)}(t) + w^{(k)}(t/\varepsilon)]$ として構築し、正則部と境界層項を分離する。
• 正則部 $u^{(k)}(t)$ は、生成子 $\mathbb{V}(x)\varphi(u) = v(u;x)\varphi'(u)$ から導かれる一連の確定的常微分方程式系を満たす。
• 特異部 $w^{(k)}(\tau)$, $\tau = t/\varepsilon$ は、マコフ生成子 $Q$ のリゾルベント $R_0$ を含む積分方程式によって解かれ、境界層内での指数的減衰を保証する。
• 正則項の初期条件は $c^{(k)}(0) = \mathbb{V}\widetilde{w}^{(k-1)}(0)$ を用いて独立に導出され、特異項との再帰的結合を回避する。
• 剰余項 $\tilde{\Phi}^\varepsilon(t)$ は、残差方程式 $\frac{d}{dt}\tilde{\Phi}^\varepsilon - L^\varepsilon\tilde{\Phi}^\varepsilon = \varepsilon\theta^\varepsilon$ にグロンウォール＝ベルマン不等式を適用し、有界な逆元 $(L^\varepsilon)^{-1}$ を用いて推定される。
• さらに、$L \geq 2||(L^\varepsilon)^{-1}||$ を満たすことで、$||\tilde{\Phi}^\varepsilon(t)|| \leq \varepsilon||\tilde{\Phi}^\varepsilon(0)|| \exp\{\varepsilon L||\theta^\varepsilon||\}$ という精密な推定式が確立される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異摂動付きマコフ確率的変動の解は、$ε \to 0$ の下でどのように正則部と特異部に分解可能か？
• RQ2 変動半群 $Φ_t^\varepsilon(u,x)$ の漸近展開の構造は何か？正則部と特異部は再帰的にどのように決定されるか？
• RQ3 展開の正則部は特異部（境界層）項に依存せずに計算可能か？
• RQ4 MRE の平均化極限への収束速度は何か？また、剰余項は定量的にどのように推定できるか？
• RQ5 提案されたアルゴリズムは、計算上の分離性と剰余項の制御の観点から、既存手法に比べてどのように改善されるか？

主な発見

• 漸近展開の正則部 $u^{(k)}(t)$ は、生成子 $\mathbb{V}(x)\varphi(u) = v(u;x)\varphi'(u)$ から導かれる再帰的常微分方程式系によって決定され、初期条件 $c^{(k)}(0) = \mathbb{V}\widetilde{w}^{(k-1)}(0)$ を満たす。
• 特異部（境界層）項 $w^{(k)}(\tau)$ は、リゾルベント $R_0 = \int_0^\infty (P(t) - \pi) dt$ を含む積分方程式によって解かれ、$\tau = t/\varepsilon$ に対して指数的減衰を示す。
• $k$-番目の正則項の初期条件は、特異項の知識を必要とせず明示的に決定可能であり、正則部の別個の再帰的アルゴリズムの構築を可能にする。
• 剰余項の推定式が導出され、$||\tilde{\Phi}^\varepsilon(t)|| \leq \varepsilon||\tilde{\Phi}^\varepsilon(0)|| \exp\{\varepsilon L||\theta^\varepsilon||\}$（$L \geq 2||(L^\varepsilon)^{-1}||$）が、$C^2$ 測度関数に対して有効である。
• 高次の展開においては、推定式が $||\tilde{\Phi}^\varepsilon_{N+1}(t)|| \leq \varepsilon^N||\tilde{\Phi}^\varepsilon(0)|| \exp\{\varepsilon^N L||\theta^\varepsilon_N||\}$ に一般化され、$N$ が大きくなるほど収束性が向上することが示される。
• 本手法は、正則項の計算を特異項から分離することで、計算効率と解析的明確性の両面で既存手法を改善する。