[論文レビュー] Asymptotic expansion of Skorohod integrals

David Nualart, Nakahiro Yoshida|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、周波数領域における2次補間とマルティングール展開技術を組み合わせることで、スコロホド積分の漸近展開を開発する。この展開を表現するために、新たに「準接線」「準ねじれ」「修正された準ねじれ」という確率的記号を導入し、分数ブラウン運動および重み付きブラウン運動の2次形式に対して有効であることを検証した。これにより、マルティングール法による既知の結果が再現された。

ABSTRACT

Asymptotic expansion of the distribution of a perturbation $Z_n$ of a Skorohod integral jointly with a reference variable $X_n$ is derived. We introduce a second-order interpolation formula in frequency domain to expand a characteristic functional and combine it with the scheme developed in the martingale expansion. The second-order interpolation and Fourier inversion give asymptotic expansion of the expectation $E[f(Z_n,X_n)]$ for differentiable functions $f$ and also measurable functions $f$. In the latter case, the interpolation method connects the two non-degeneracies of variables for finite $n$ and $\infty$. Random symbols are used for expressing the asymptotic expansion formula. Quasi tangent, quasi torsion and modified quasi torsion are introduced in this paper. We identify these random symbols for a certain quadratic form of a fractional Brownian motion and for a quadratic from of a fractional Brownian motion with random weights. For a quadratic form of a Brownian motion with random weights, we observe that our formula reproduces the formula originally obtained by the martingale expansion.

研究の動機と目的

• 参照変数を伴うスコロホド積分の摂動に対する一般化された漸近展開フレームワークの構築。
• 有限分布と極限分布の両方における非退化性の課題を、周波数領域における2次補間を導入することで克服。
• 高次項を表現するための新しい確率的記号（「準接線」「準ねじれ」「修正された準ねじれ」）を導入・形式化。
• 滑らかさの古典的仮定を越えて、微分可能関数および可測関数の両方に対して展開の有効性を確立。
• 重み付きブラウン運動の2次形式に関して、マルティングール展開フレームワークから既知の結果を再現し、新手法の妥当性を検証。

提案手法

• 周波数領域における2次補間公式を用いて、スコロホド積分と参照変数のペアの特性関数を展開。
• 補間法をマルティングール展開スキームと組み合わせ、期待値 $\mathbb{E}[f(Z_n, X_n)]$ の漸近展開を導出。
• マリヤン・微積分と共分散構造から導かれる「準接線」「準ねじれ」「修正された準ねじれ」といった確率的記号を用いて、展開の高次項を表現。
• マリヤン微積分の性質（台の定理や正則性条件など）を用いて、剰余項のモーメントおよび $L^p$ ノルムの推定を確立。
• フーリエ逆変換と局所密度近似を適用して、真の分布と展開近似との間の誤差を制御。
• 剰余項の正則性と減衰性を保証するための条件 [D] の下で展開を検証。この条件により、$L^p$ 有界性と確率的記号の収束性が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 極限分布が非退化であるが、有限標本分布が退化である場合に、スコロホド積分の漸近展開を体系的に導出する方法は何か？
• RQ2 周波数領域における2次補間は、有限標本分布と極限分布の間のギャップをどのように埋めるか？
• RQ3 新規に導入された確率的記号（「準接線」「準ねじれ」「修正された準ねじれ」）は、展開の高次構造をどのように捉えているか？
• RQ4 本手法はどのような状況で、マルティングール展開フレームワークからの既知の結果を再現するか？
• RQ5 マリヤン微分と共分散構造にどのような条件を課すと、可測関数に対しても漸近展開の有効性が保証されるか？

主な発見

• 条件 [C] または [C♮] の下で、可測関数 $f$ に対しても $\mathbb{E}[f(Z_n, X_n)]$ の漸近展開が有効であることが示された。これは微分可能関数に限らない拡張である。
• 適切な正則性および減衰条件のもとで、剰余項 $\Delta_n(f)$ は $n \to \infty$ のとき $o(r_n)$ であることが示された。
• 「準接線」「準ねじれ」「修正された準ねじれ」が形式的に定義され、展開の高次項を表現する上で不可欠な役割を果たすことが明らかになった。
• 分数ブラウン運動の2次形式に対しては、これらの確率的記号が明示的に特定可能であり、展開の具体的応用が可能である。
• 重み付きブラウン運動の2次形式に対しては、古典的なマルティングール展開の結果が再現され、新手法の整合性が確認された。
• 参照変数 $X_n$ を省いた場合でも、条件 [D] の下で展開は有効であり、得られる密度 $\hat{p}_n(z)$ は $\mathbb{E}[f(Z_n)]$ の有効な近似となる。