[論文レビュー] Asymptotic expansions for relativistic celestial mechanics

Mayeul Arminjon|ArXiv.org|Mar 16, 2000

Geophysics and Gravity Measurements参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、スカラー重力理論を用いて相対論的天体力学の漸近展開枠組みを構築し、重力場強度に比例してスケーリングされる1パラメータ族の類似系を導入する。微小パラメータ ε = 1/c² を明示的に単位のスケーリングによって導入することで、一貫性のある後ニュートン的および後ミンコフスキー的近似を導出する。標準的な後ニュートン的近似が、物質場を展開しないのに対し重力場のみを展開するため、通常の漸近展開手法と矛盾することを示している。

ABSTRACT

The method of asymptotic expansions is used to build an approximation scheme relevant to celestial mechanics in relativistic theories of gravitation. A scalar theory is considered, both as a simple example and for its own sake. This theory is summarized, then the relevant boundary problem is seen to be the full initial-value problem. It is shown that, with any given system of gravitating bodies, one may associate a one-parameter family of similar systems, the parameter measuring the gravitational field-strength. After a specific change of units, the derivation of asymptotic expansions becomes straightforward. Two hypotheses could be made as to which time variable has to be used in the expansion. The first one leads to an "asymptotic" post-Newtonian approximation (PNA) with instantaneous propagation, differing from the standard PNA in that, in the asymptotic PNA, all fields are expanded. The second hypothese could lead to an "asymptotic" post-Minkowskian approximation (PMA) allowing to describe propagation effects, but it is not compatible with the Newtonian limit. It is shown that the standard PNA is not compatible with the application of the usual method of asymptotic expansions as envisaged here.

研究の動機と目的

• スカラー重力理論における相対論的天体力学に適用可能な厳密な漸近展開枠組みを構築すること。
• 標準的な後ニュートン的近似（PNA）が、すべての場を展開する必要があるという漸近展開の形式的手法と矛盾することを解消すること。
• 重力場強度に比例してスケーリングされる1パラメータ族の重力的系を構築し、体系的な近似を可能にすること。
• 標準的なPNAと、重力場および物質場の両方を展開する「漸近的」PNAを比較し、後者がより数学的に整合的であることを示すこと。
• 漸近展開がニュートン的極限および相対論的重力における伝播効果とどのように整合するかを検討すること。

提案手法

• コンパクトな台を持つ物理系から導かれる、重力場強度を表すパrameter ε に依存する1パラメータ族の重力的系（Sε）を導入する。
• 漸近展開のプロセスを簡素化するために、ε に依存する特定の単位系の変更を適用し、展開を明快かつ初等的にする。
• 重力場および物質場の両方を ε = 1/c² のべき級数として同時に展開し、標準的な漸近展開理論と整合性を保つ。
• 初期値問題を関連する境界値問題として扱い、展開における境界条件の変換を分析する。
• 2つの時間依存仮説を検討する：1つは即時伝播を伴う「漸近的」PNAを導き、もう1つは波動伝播を含む後ミンコフスキー的スキームをもたらす可能性がある。
• 一般相対性理論の複雑さを避けるために、概念的問題を明確にするモデルとしてスカラー理論を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重力場および物質場の両方を展開するような、相対論的天体力学に適した一貫性のある漸近展開枠組みを構築できるか？
• RQ2 なぜ標準的な後ニュートン的近似（PNA）が、通常の漸近展開手法と矛盾するのか？
• RQ3 1パラメータ族の類似系（Sε）の導入は、相対論的重力における初期値問題とどのように関係するか？
• RQ4 漸近的スキームにおいて物質場を展開することの意味は何か、特にニュートン的極限および質量定義にどのような影響を与えるか？
• RQ5 漸近展開法から後ミンコフスキー的近似を一貫して導出できるか？また、伝播効果を保存するか？

主な発見

• 標準的な後ニュートン的近似（PNA）は、重力場のみを展開し物質場を展開しないため、通常の漸近展開手法と矛盾する。
• 重力場および物質場の両方を展開する「漸近的」PNAを構築したが、これは数学的に整合的であり、即時伝播を伴うスキームを導く。
• 代替的な仮説により、「漸近的」後ミンコフスキー的近似（PMA）が得られる可能性があるが、ニュートン的極限を回復できない。
• 本稿で用いられるスカラー理論は、1/c² 以下の非ニュートン的効果を予測しない。また、1/c の偶数次べきでの展開は、選択した単位系において両方一貫的かつ自然である。
• ニュートン的質量は漸近的スキームにおいて一意に定義されない。代わりに、複数の係数（例：M₀ₐ と M₁ₐ）によって表され、これらは T=0 における初期データで表現可能である。
• 追加の質量パラメータ（例：M₁ₐ）は理論に依存し、ニュートン的質量とは同一ではない。これは、ニュートン的質量が相対論的力学において近似的にしか成立せず、2次項と同階層の補正を伴うことを示唆する。