[論文レビュー] Asymptotic Factorisation of the Ground-State for SU(N)-invariant Supersymmetric Matrix-Models

David Hasler, Jens Hoppe|ArXiv.org|Jun 5, 2002

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 14被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、SU(N)不変な超対称行列模型において、ある行列の固有値が大きくかつ互いに明確に分離するとき、基底状態の波動関数が漸近的に、非対角自由度のための超対称調和振動子波動関数の積と、対角（カルタン部分代数）自由度から構成される自由超クーラーによって消える波動関数に因子分解することを厳密に導出する。この結果は、すべての N > 1 に対して、大きな固有値極限における有効な自由超クーラーの出現を確認する。

ABSTRACT

We give a simple - straightforward and rigorous - derivation that when the eigenvalues of one of the $d=9 (5,3,2)$ matrices in the SU(N) invariant supersymmetric matrix model become large (and well separated from each other) the ground-state wavefunction (resp. asymptotic zero-energy solution of the corresponding differential equation) factorizes, for all $N>1$, into a product of supersymmetric harmonic oscillator wavefunctions (involving the `off-diagonal' degrees of freedom) and a wavefunction $ψ$ that is annihilated by the free supercharge formed out of all `diagonal' (Cartan sub-algebra) degrees of freedom.

研究の動機と目的

• 任意の N > 1 に対して、SU(N)-不変な超対称行列模型における基底状態波動関数の漸近的形を厳密に導出すること。
• 大きな固有値領域における有効な自由超クーラーの出現を明確にし、以前の直感的予想を裏書くこと。
• 大きな固有値の分離下で、波動関数が非対角（振動子）成分と対角（カルタン）成分に因子分解されることを確立すること。
• スケーリング議論と射影技術を用いて、ゲージ固定された大 r 域におけるゼロエネルギー状態の体系的解析を提供すること。

提案手法

• ゲージ固定枠組みにおいて、$ q_{da} = 0 $（カルタン生成子でない場合）となるように、超クーラー $ \tilde{Q}_\beta $ の漸近的形を導出する。
• 波動関数と固有値の分離およびユニタリ変換構造を関連付けるため、ヤコビアン因子 $ \sqrt{f} $（$ f = \det(f_{ab}) $）を用いる。
• カルタン固有値 $ \lambda_j \sim r $、非対角成分 $ q_{\mu a} \sim r^{-1/2} $、$ q_{\mu k} \sim 1 $ のスケーリング極限を適用し、支配的項を分離する。
• 波動関数の分解と超クーラー方程式の一次至上の振る舞いを解析するために、射影作用素 $ P_0 $ と $ \overline{P}_0 $ を用いる。
• 一次至上の項 $ Q_\beta^{(0)} $ がカルタン自由度に対して自由超クーラーとして作用することを示し、大 r 極限において高次の補正項が消えることを示す。
• 射影作用素 $ P_0 $ を用いて定義される有効波動関数 $ \psi $（$ P_0 \tilde{\Psi} = \psi_0 \cdot \psi $）が、$ \hat{Q}_\beta \psi = 0 + O(r^{-3/2}) $ を満たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SU(N)-不変な超対称行列模型の基底状態波動関数は、ある行列の固有値が大きくかつ明確に分離するとき、どのように漸近的に振る舞うか？
• RQ2 大きな固有値極限において、対角（カルタン）自由度に作用する有効超クーラーの構造は何か？
• RQ3 この領域において、非対角自由度と対角自由度の波動関数はどの程度独立成分に因子分解可能か？
• RQ4 非対角フェルミオンおよびボソンからの量子補正は、漸近的ゼロエネルギー条件にどのように影響するか？
• RQ5 ゲージ固定座標とスケーリング極限を用いて、ゼロエネルギー状態の漸近的振る舞いを厳密に導出できるか？

主な発見

• 基底状態波動関数は、漸近的に、非対角自由度のための超対称調和振動子波動関数の積と、カルタン変数に依存する波動関数 $ \psi $ に因子分解される。
• 波動関数 $ \psi $ は、$ O(r^{-3/2}) $ の補正を除き、対角自由度から構成される自由超クーラー $ \hat{Q}_\beta $ によって消える。
• ヤコビアン因子 $ \sqrt{f} $（$ f = \det(f_{abk} q_{dk}) $）は、固有値の差の積 $ \prod_{i<j} (\lambda_i - \lambda_j) $ の平方根に一致する。
• 一次至上の超クーラー $ Q_\beta^{(0)} $ は、非対角フェルミオンおよびボソンに対して自由超クーラーとして作用し、すべての高次補正項は大 r 極限で抑制される。
• 最低ランダウ準位への射影（$ \psi_0 $ を通じて）により、カルタン領域の有効な力学にゼロエネルギー状態のみが寄与することが保証される。
• 漸近的波動関数は無限遠点でも二乗可積分のままであり、有効記述の物理的整合性が確認される。