[論文レビュー] Asymptotic flatness at null infinity in higher dimensional gravity

Stefan Hollands, Akihiro Ishibashi|ArXiv.org|Nov 19, 2003

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 3被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、d > 4 の偶数次元時空に対して、共形無限遠法を用いて、光的無限遠における漸近的平坦性の幾何的定義を提案する。時間移動のハミルトニアン生成子を導出し、高次元において明示的に正のボンドイエネルギーを定義する。これは4次元の概念を一般化し、エネルギーフラックスが常に正であることを保証する。公式は、重力摂動の落下挙動が異なるため、d=4の場合とは本質的に異なる形をとる。

ABSTRACT

We give a geometrical definition of the asymptotic flatness at null infinity in spacetimes of even dimension $d$ greater than 4 within the framework of conformal infinity. Our definition is shown to be stable against perturbations to linear order. We also show that our definition is stringent enough to allow one to define the total energy of the system viewed from null infinity as the generator conjugate to an asymptotic time translation. We derive an expression for the generator conjugate within the Hamiltonian framework, and propose to take this notion of energy as the natural generalisation of the Bondi energy to higher dimensions. Our definitions of asymptotic flatness and the Bondi energy formula differ qualitatively from the corresponding definitions in $d=4$; although the asymptotic structure of null infinity in higher dimensions parallels that in 4-dimensions in some ways, the latter seems to be a rather special case on the whole compared to general $d>4$. Our definitions and constructions do not work in odd spacetime dimensions, essentially because the unphysical metric seems to have insufficient regularity properties at null infinity in that case.

研究の動機と目的

• 共形無限遠法を用いて、d > 4 かつ偶数次元の時空における光的無限遠における漸近的平坦性を定義すること。
• 定義が線形摂動に対して安定であることを保証すること。
• 漸近的時間移動に対応するハミルトニアン生成子を構成し、高次元における全エネルギー（ボンドイエネルギー）の定義を可能にすること。
• 4次元のボンドイエネルギー概念を d > 4 に一般化し、落下挙動と構造の面で本質的な違いを示すこと。
• 高次元における重力放射のエネルギーフラックスが、ハミルトニアン的手法を用いて明示的に正であることを確立すること。

提案手法

• 時空の共形的コンパクト化を用い、光的無限遠を有限な境界に持ってくるために、非物理的計量 g_ab = Ω² g̃_ab を導入する。
• 非物理的計量およびその微分に落下条件を課し、特に n_a n^a = O(Ω^{(d+2)/2}) および ∇_a n_b = O(Ω^{(d-2)/2}) を満たすことで、漸近的平坦性を定義する。
• ワルド＝ツーパスのハミルトニアン枠組みを適用し、漸近的時間移動 ξ^a に対応する生成子 H_ξ を導出する。
• ボンドイエネルギーの公式を、光的無限遠の断面積分として導出し、リッチテンソル、ウェイリテンソル、ニューステンソル N_ab を含む。
• 背景計量に条件を課すことにより、共形ゲージを固定し、エネルギー表現の一意性と整合性を保証する。
• エネルギーをウェイリテンソルのクーロン成分とニューステンソルによる放射的寄与に明示的に分離し、Ω^{-(d-4)} に依存する形で表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d > 4 の偶数次元時空において、光的無限遠における漸近的平坦性を一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 ボンドイエネルギーの正しい高次元への一般化は何か？ 4次元の場合とはどのように異なるか？
• RQ3 提案されたエネルギー定義は、d > 4 において線形摂動に対して安定か？
• RQ4 ハミルトニアン的手法を用いて、高次元における重力放射のエネルギーフラックスを明示的に正に導出できるか？
• RQ5 d > 4 における定義と公式が、d = 4 と本質的に異なるのはなぜか？ 特に重力場の落下挙動において。

主な発見

• 提案された漸近的平坦性の定義は、偶数次元 d > 4 において線形摂動に対して安定である。
• d > 4 におけるボンドイエネルギーは、ハミルトニアン生成子として、ウェイリテンソルとニューステンソルを介してクーロン成分と放射的寄与を明示的に分離する形で与えられる。
• 未来向きの時間移動に対して、光的無限遠を通るエネルギーフラックスは常に正であり、物理的整合性が保たれる。
• d次元のシュヴァルツシルト時空では、ボンドイエネルギーは c(d−2)A_{d−2}/(16πG) に簡略化され、ADM質量と一致する。これにより一貫性が確認される。
• 公式は4次元の場合とは本質的に異なり、リッチ項が S_ab と ρ_ab の組み合わせに置き換えられるため、高次元では異なる漸近的構造を示す。
• 奇数次元の時空では、非物理的計量が光的無限遠で十分な正則性を持たないため、この手法は失敗する。