[論文レビュー] Asymptotic for optimizers of the fractional Hardy-Sobolev inequality

S. Marano, Sunra Mosconi|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2016

Differential Equations and Boundary Problems被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、濃縮・コンpaktnネスの原理を用いて、空間 $\dot{W}^{s,p}(\mathbb{R}^N)$ における分数階のハーディー＝ソボレフ不等式の最適化子の存在を確立し、$|x|\to\infty$ のときのその鋭い漸近的減衰 $u(x) \simeq |x|^{-\frac{N-ps}{p-1}}$ を導出する。また、$\gamma \in \left(\frac{N(p-1)}{N-s}, p\right]$ に対して $u \in \dot{W}^{s,\gamma}(\mathbb{R}^N)$ となる最適可 summability 性が得られ、$s \to 1^-$ の極限でこれが最適になる。結果として、最小化子の予想された挙動が裏付けられ、既知の局所的結果が非局所的設定へと拡張される。

ABSTRACT

We consider the optimizers $u$ in the Hardy-Sobolev inequality for the space $\dot{W}^{s,p}({\mathbb R}^N)$ with order of differentiability $s\in ]0,1[$. After proving existence through concentration-compactness, we derive the pointwise asymptotic $u(x)\simeq |x|^{-\frac{N-ps}{p-1}}$ for large $|x|$ and the summability estimate $u\in \dot{W}^{s,γ}({\mathbb R}^N)$ for all $γ>\frac{N(p-1)}{N-s}$. These estimates are optimal in the limit $s o 1^-$, in which case optimizers are explicitly known.

研究の動機と目的

• 分数階のハーディー＝ソボレフ不等式の最適化子の存在を、$s \in (0,1)$ における非局所ソボレフ空間 $\dot{W}^{s,p}(\mathbb{R}^N)$ で確立すること。
• 最小化子の無限遠における正確な漸近的減衰率を特定し、$|x| \to \infty$ のとき $u(x) \simeq |x|^{-\frac{N-ps}{p-1}}$ であることを示すこと。
• 最小化子 $u$ が属する最適可 summability 現象 $\gamma \in \left(\frac{N(p-1)}{N-s}, p\right]$ を同定し、その鋭さを確認すること。
• 最小化子の漸近的挙動が、$s \to 1^-$ の極限において、予想された形 $U(x) = (1 + |x|^{\frac{p - \alpha/s}{p-1}})^{-\frac{N - sp}{p - \alpha/s}}$ と一致することを検証すること。

提案手法

• 厳密な下位加法性を保証する条件 $q > p$ の下で、濃縮・コンパクトネスの原理を用いて最適化子の存在を証明する。
• 非局所的 $|\nabla u|^p$ の類似物として、非局所エネルギー密度 $|D^s u|^p(x) = \int_{\mathbb{R}^N} \frac{|u(x) - u(x+h)|^p}{|h|^{N+ps}} \, dh$ を導入する。
• 再配分不等式を用いて、最小化子が径数的に減少し、対称的であることを示す。
• 二重層ケーキ分解と非局所ノルム推定を用いて、空間的領域ごとの $|D^s u|^\gamma$ の挙動を制御する。
• 特に、$u$ の減衰を活用して $\|u\|_{\dot{W}^{s,\gamma}}$ をバウンドするため、ホルダー型およびハーディー型不等式を用いて可 summability を確立する。
• dyadicシェル上での明示的推定を構築し、$[U_i]_{s,\gamma}^\gamma \lesssim 2^{i(N - \gamma \frac{N-s}{p-1})}$ が成り立ち、指数が負であることを示すことにより、可 summability 範囲の鋭さを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $s \in (0,1)$ および $p > 1$ の下で、$\dot{W}^{s,p}(\mathbb{R}^N)$ における分数階ハーディー＝ソボレフ不等式の最小化子は存在するか？
• RQ2 このような最小化子の無限遠における正確な漸近的減衰率は何か？
• RQ3 どの $\gamma$ に対して $u \in \dot{W}^{s,\gamma}(\mathbb{R}^N)$ となるか？この範囲は最適か？
• RQ4 $s \to 1^-$ の極限において、最小化子の減衰と可 summability はどのように振る舞い、局所的ケースにおける既知の結果を回復するか？

主な発見

• 濃縮・コンパクトネスの原理を用いて、$q > p$ の条件下で分数階ハーディー＝ソボレフ不等式の最適化子の存在が確立される。
• 任意の最小化子 $u$ は、$|x| \to \infty$ のとき、鋭い漸近的減衰 $u(x) \simeq |x|^{-\frac{N-ps}{p-1}}$ を満たす。
• 最小化子 $u$ はすべての $\gamma \in \left(\frac{N(p-1)}{N-s}, p\right]$ に対して $\dot{W}^{s,\gamma}(\mathbb{R}^N)$ に属し、この範囲は最適である。
• 指数 $\frac{N(p-1)}{N-s}$ をさらに小さくすることはできず、ハーディー不等式を用いた背理法によりこれが示される。
• 非局所的設定において、アウビン＝タランティ型関数 $U(x)$ の予想された挙動が結果として裏付けられ、特に $s \to 1^-$ の極限においてその有効性が確認される。
• 非局所エネルギー密度 $|D^s u|^p$ が減衰と可 summability を制御すること、および dyadic 分解が $[U_i]_{s,\gamma}^\gamma$ の推定に不可欠であることが分析により確認される。