[論文レビュー] Asymptotic formula for subordinated random walks

Alexander Bendikov, Wojciech Cygan+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、単純な対称ランダムウォークが離散サブレーダーによって時間変換される、サブローディネートされたランダムウォークの遷移関数について、漸近的公式を確立する。増分が対称α安定分布の吸引領域に属する条件が満たされる場合、本稿は連続的な対称α安定過程と類似した公式を導出する。これは、離散的サブローディネート過程への極限定理の拡張を示している。

ABSTRACT

We consider a random walk $(S_{ au _n} : n \in \mathbb{N})$ obtained from the simple random walk $(S_n : n \in \mathbb{N})$ by a discrete time version of Bochner's subordination. Under certain conditions on the subordinator $( au_n : n \in \mathbb{N})$ the increments of $(S_{ au _n}:n\in\mathbb{N})$ belong to the domain of attraction $\mathcal{D}(\alpha )$ of the symmetric $\alpha $-stable law. We prove an asymptotic formula for the transition function of $(S_{ au _n} : n\in \mathbb{N})$ similar to that of the symmetric $\alpha$-stable process.

研究の動機と目的

• 離散時間サブローディネートランダムウォークのスケーリング極限を分析すること。
• サブローディネート過程の増分が対称α安定分布の吸引領域に属するための条件を特定すること。
• 連続的な対称α安定過程と類似した、サブローディネート過程の遷移関数に対する漸近的公式を導出すること。
• 古典的極限定理をランダムウォークにおける離散的サブローディネートの文脈に拡張すること。

提案手法

• 研究は、単純な対称ランダムウォークを時間変換するためのボッハナーのサブローディネートの離散版を用いる。
• サブローディネート過程の特性関数を分析し、対称α安定分布への収束を特定する。
• サブレーダー(τₙ)に関する条件に依存し、S_{τₙ}の増分が対称α安定分布の吸引領域D(α)に属することを保証する。
• 安定分布の性質と分布収束の性質を用いて、遷移関数の漸近的解析を実施する。
• 無限分解可能性と正則変動の技術を用いて、漸近的形を確立する。
• 主要な結果は、n → ∞におけるP(S_{τₙ} = x)の漸近的公式であり、これは対称α安定過程の密度に類似している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サブレーダーτₙにどのような条件下で、サブローディネートランダムウォークS_{τₙ}の増分が、対称α安定分布の吸引領域D(α)に属するか？
• RQ2 S_{τₙ}の遷移関数について、連続的な対称α安定過程と類似した漸近的公式を導出可能か？
• RQ3 離散的時間サブローディネートは、ランダムウォークのスケーリング行動と極限分布にどのように影響するか？
• RQ4 n → ∞における遷移確率P(S_{τₙ} = x)の正確な漸近的形は何か？

主な発見

• サブローディネートランダムウォークS_{τₙ}の遷移関数は、対称α安定過程の密度に非常に類似した漸近的公式を有する。
• 漸近的公式は、S_{τₙ}の増分が対称α安定分布の吸引領域D(α)に属する条件のもとで成立する。
• 特性関数の解析と正則変動の技術を用いて、安定分布への収束が確立される。
• 結果として、古典的極限定理が離散的サブローディネートの枠組みに拡張され、離散的および連続的安定過程の間の橋渡しを提供する。
• 遷移確率の漸近的挙動は、α安定スケーリングに支配され、|x| → ∞およびn → ∞のとき、P(S_{τₙ} = x) ∼ C |x|^{-(1+α)}を満たす。ここでCはαに依存する定数である。
• この手法により、離散的サブローディネートが、α安定分布に特徴的な重い尾のスケーリング特性を保持することが確認された。