[論文レビュー] Asymptotic formulas for fundamental system of solutions of high order ordinary differential equations with coefficients -- distributions

А. М. Савчук, Андрей Андреевич Шкаликов|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2017

Differential Equations and Boundary Problems参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、パラメータに依存するポテンシャルを伴う1階系への変換を用いて、分布係数をもつ高階常微分方程式の基本解系に対する漸近公式を確立する。主な貢献は、係数に可積分性および滑らかさの条件を課したもとで、スペクトルパラメータ λ → ∞ のときの解の正確な漸近的挙動の導出であり、古典的結果を演算子構造における分布係数の状況にまで拡張する。

ABSTRACT

This paper deals with differential equations of the form $$ τ(y)- λ^{2m} \varrho(x) y = 0, \quad τ(y) =\sum_{k,\,s=0}^m(τ_{k,\,s}(x)y^{(m-k)}(x))^{(m-s)}, $$ where $n=2m\geqslant 2$, $λ$ is the large complex parameter, the positive functions\ $\varrho$\ and\ $τ_{0,0}$ \ belong to $W^{1,1}[0,1]$ and the complex valued coefficients $τ_{k,s}$ are such that the anti-derivatives $τ_{k,s}^{(-l)}$ belong to $L_2[0,1]$, provided that $l=\min\{k,s\}$. Here the anti-derivatives are understood in the sense of distributions. The above equation can be reduced to the $n$-th order system of differential equations of the form $$ \mathbf y'=λρ(x)\mathrm B\mathbf y+\mathrm A(x)\mathbf y+\mathrm C(x,λ)\mathbf y $$ with constant matrix $\mathrm B$ and summable matrices $\mathrm A(x)$ and $\mathrm C(x,λ)$. The first objective of the paper is obtain new results on asymptotic representation for the matrix of fundamental solutions of the last equation with respect to $λ o\infty$ in certain sectors of the complex plane. The second objective is to apply the obtained results for analyzing the asymptotic representation of fundamental solutions of the first scalar equation with distribution coefficients.

研究の動機と目的

• 分布係数をもつ高階常微分方程式の基本解系に対する漸近公式を導出すること。
• 係数が分布である場合、特にSturm-Liouville型および準微分作用素の文脈において、微分方程式の古典的漸近解析を拡張すること。
• 係数の正則性を最小限にした仮定のもとで、スペクトルパラメータ λ → ∞ のときの解の挙動を分析すること。
• 複素λ平面における角領域において、基本解系が一様漸近展開をもつための条件を確立すること。
• 正則係数の場合の結果を特異（分布）係数の場合に一般化し、重要なスペクトル的および漸近的性質を保ちながら拡張すること。

提案手法

• 2m階方程式を [0,1] 上で y′ = λV(x)y + A(x)y + C(x,λ)y の形の1階系に変換し、V(x) = ρ(x)B とする。ここで B は対角行列で、ρ ∈ L₁[0,1] である。
• 変数変換 u(x) = W(x)y(x) を用いて、行列が対角である形の主要項を有する系に簡略化し、変数変化法と積分表現を用いた漸近解析を可能にする。
• スペクトル理論および振動積分の技法を適用し、特に r → ∞ のときの ∫₀ˣ e^{i r t} a(t) dt の推定を用いて解の挙動を制御する。
• 係数およびその導関数に対する L₁ および L₂ の推定を用い、τ₀⁻¹/² ∈ L₂ および τₖ,ₛ⁽⁻ˡ⁾ ∈ L₂（l = min{k,s}）などの条件を含め、解の存在および漸近的制御を保証する。
• 変数変化法の公式を用いて基本解行列 Y(x,λ) の積分表現を導出し、トレースおよび対数微分の議論を用いてその行列式および正則性を分析する。
• 対角行列 B の固有値に関連する解の指数的増大・減衰を解析することにより、arg(λ) ∈ (α, β) の角領域における漸近的挙動を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトルパラメータ λ → ∞ のとき、分布係数をもつ高階ODEの基本解はどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ2 複素平面における角領域において、基本解行列が一様漸近展開をもつための係数に関する条件は何か？
• RQ3 正則係数に対する古典的漸近公式は、準微分作用素における分布係数の場合にどの程度まで拡張可能か？
• RQ4 ポテンシャル行列 V(x) = ρ(x)B の構造は、特に exp(λ b_j p(x)) の形の指数的因子に関連して解の漸近的挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ5 係数およびその導関数に対する L₁ および L₂ 可積分性条件は、漸近公式の妥当性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 基本解行列 Y(x,λ) は |λ| > λ₀ および x ∈ [0,1] に対して存在し、det Y(x,λ) ≠ 0 であるため、正則で明確に定義された基本解系が得られる。
• λ → ∞ のとき、解行列 Y(x,λ) は exp(λB p(x)) に下位の補正項を乗じた形の漸近展開をもつ。ここで p(x) = ∫₀ˣ ρ(t) dt であり、B は対角行列である。
• 漸近展開の誤差項は |λ| → ∞ のとき L₁ノルムで o(1) に制御され、より強い条件下では O(|λ|⁻¹) となる。これにより収束速度が向上する。
• 漸近的挙動は x ∈ [0,1] および任意の ε > 0 に対して arg(λ) ∈ (α + ε, β − ε) の角領域において一様に成り立ち、従来の結果を分布係数の場合にまで拡張する。
• τ₀⁻¹/² ∈ L₂ および τₖ,ₛ⁽⁻ˡ⁾ ∈ L₂（l = min{k,s}）という条件は、基本解系の存在および漸近的制御を保証するのに十分である。
• 古典的BirkhoffおよびTamarkin型漸近論は、分布係数をもつ方程式に一般化され、例として −y′′ + qy = λ²ϱy（q ∈ W⁻¹₂[0,1]）のケースを含み、特異ポテンシャルをもつ準微分作用素へも拡張される。