[論文レビュー] Asymptotic formulas for spectral gaps and deviations of Hill and 1D Dirac operators

Plamen Djakov, Boris Mityagin|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2013

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、周期的・反周期的・ディリクレ境界条件の下で、1次元のヒル作用素およびディラック作用素のスペクトルギャップ $\gamma_n = \lambda_n^+ - \lambda_n^-$ とずれ $\delta_n = \mu_n - \lambda_n^+$ の漸近公式を導出する。ポテンシャルのフーリエ解析を用いて、特に三角多項式ポテンシャルの場合、スペクトルの性質がポテンシャルのフーリエ係数によって明確に記述され、スペクトル幾何学とポテンシャルの滑らかさ・解析的性質の関係を確立する。

ABSTRACT

Let $L$ be the Hill operator or the one dimensional Dirac operator on the interval $[0,π].$ If $L$ is considered with Dirichlet, periodic or antiperiodic boundary conditions, then the corresponding spectra are discrete and for large enough $|n|$ close to $n^2 $ in the Hill case, or close to $n, \; n\in \mathbb{Z}$ in the Dirac case, there are one Dirichlet eigenvalue $μ_n$ and two periodic (if $n$ is even) or antiperiodic (if $n$ is odd) eigenvalues $λ_n^-, \, λ_n^+ $ (counted with multiplicity). We give estimates for the asymptotics of the spectral gaps $γ_n = λ_n^+ - λ_n^-$ and deviations $ δ_n =μ_n - λ_n^+$ in terms of the Fourier coefficients of the potentials. Moreover, for special potentials that are trigonometric polynomials we provide precise asymptotics of $γ_n$ and $δ_n.$

研究の動機と目的

• ヒル作用素および1次元ディラック作用素におけるスペクトルギャップ $\gamma_n = \lambda_n^+ - \lambda_n^-$ とずれ $\delta_n = \mu_n - \lambda_n^+$ の漸近公式を確立すること。
• $\gamma_n$ および $\delta_n$ の減衰率が、ポテンシャルのフーリエ係数を通じてその滑らかさと解析的性質とどのように関連するかを明らかにすること。
• ポテンシャルが三角多項式である場合の $\gamma_n$ および $\delta_n$ の正確な漸近挙動を提供すること。
• 自己随伴でない場合、すなわち複素数値ポテンシャルに対しても、スペクトル幾何学とポテンシャルの正則性の関係を拡張すること。
• 逆スペクトル理論の結果を、$C^\infty$ および解析的ポテンシャルをスペクトルデータによって特徴づけるためのフーリエ解析的手法を用いて一般化すること。

提案手法

• ポテンシャル $v(x)$ のフーリエ解析を用いて、周期的・反周期的・ディリクレ境界条件の下での固有値の漸近展開を導出する。
• スペクトルデータを符号化する関数 $\beta_n^\pm(z)$ を定義し、その漸近的挙動を用いて $\gamma_n$ および $\delta_n$ を導出する。
• $L^2$-ベースのフーリエ手法と整合性を持つように、準微係数形式を用いてスペクトル問題を扱う。
• 十分な滑らかさを持つポテンシャルに対して、 $\beta_n^\pm(z) \sim V(\pm 2n)$ という漸近的同値関係を確立する。ここで $V(k)$ は $v$ のフーリエ係数である。
• 複素解析的手法を用いて、平方根の分岐の選択を扱い、$\delta_n$ の公式を導出する上で不可欠な部分を処理する。
• $\mu_n - \lambda_n^+ \sim \frac{1}{2}(\beta_n^+ - \beta_n^-)$ および類似の恒等式を用いて、スペクトル関数の挙動からずれの漸近挙動を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒル作用素およびディラック作用素のスペクトルギャップ $\gamma_n = \lambda_n^+ - \lambda_n^-$ は、ポテンシャルのフーリエ係数を用いてどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ2 ディリクレ固有値および周期的・反周期的固有値のずれ $\delta_n = \mu_n - \lambda_n^+$ の正確な漸近的挙動は何か？
• RQ3 $\gamma_n$ および $\delta_n$ の減衰率によって、ポテンシャルの滑らかさと解析的性質を特徴づけられるか？
• RQ4 ポテンシャルが三角多項式である場合の $\gamma_n$ および $\delta_n$ の正確な漸近公式は何か？
• RQ5 $\gamma_n$ および $\delta_n$ の漸近的項の符号と位相は、ポテンシャルの微分の階数 $m$ の偶奇にどのように依存するか？

主な発見

• $m$ 階微分が $L^2$ に属するポテンシャル $v$ に対して、$m$ が奇数のとき、スペクトルギャップは $\gamma_n \sim \pm \frac{2/\pi}{(2in)^{m+1}}(v^{(m)}(0) - v^{(m)}(\pi))$ と漸近的に振る舞う。
• $m$ が偶数のとき、 $\gamma_n \sim \pm \frac{2i/\pi}{(2in)^{m+1}}(v^{(m)}(0) - v^{(m)}(\pi))$ となり、主項が純虚数となる。
• ずれ $\delta_n = \mu_n - \lambda_n^+$ は、$m$ が偶数のとき $\delta_n \sim \mp \frac{i/\pi}{(2in)^{m+1}}(v^{(m)}(0) - v^{(m)}(\pi))$ と漸近的に振る舞い、符号はスペクトル分岐に依存する。
• $m$ が奇数で、無限集合 $\Delta$ に属する $n$ に対して $\gamma_n$ の符号が正である場合、 $\delta_n \sim \frac{2/\pi}{(2in)^{m+1}}(v^{(m)}(0) - v^{(m)}(\pi))$ が成り立つ。
• $m$ が偶数のとき、 $\mu_n - \frac{1}{2}(\lambda_n^- + \lambda_n^+)$ には漸近公式が存在しない。これは $\beta_n^- + \beta_n^+ = o(1)$ の打ち消し効果による。
• 三角多項式ポテンシャルの場合、 $\gamma_n$ および $\delta_n$ の漸近挙動は、ポテンシャルのフーリエ係数によって明示的に決定され、正確なべき則の減衰率が得られる。