[論文レビュー] Asymptotic integration of $(1+\alpha)$-order fractional differential equations

Dumitru Bǎleanu, Octavian G. Mustafa+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2010

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$^0O^{1+\alpha}_t x + a(t)x = 0$ の形をした (1+α)-階分数階微分方程式の解について、漸近的積分公式を確立する。ここで $\alpha \in (0,1)$ である。重み付き関数空間における収縮写像原理を用いて、$t \to +\infty$ のとき解が $[a + O(1)] \cdot x_{\text{small}} + b \cdot x_{\text{large}}$ のように漸近的に振る舞うことを証明する。ここで $x_{\text{small}}$ と $x_{\text{large}}$ は同次方程式の基本解である。この結果は $a(t)$ に対する可積分性条件のもとで成り立ち、$O(1)$ 項は一般に $o(1)$ に改善できない。

ABSTRACT

oindent{\bf Abstract} We establish the long-time asymptotic formula of solutions to the $(1+\alpha)$--order fractional differential equation ${}_{0}^{\>i}{\cal O}_{t}^{1+\alpha}x+a(t)x=0$, $t>0$, under some simple restrictions on the functional coefficient $a(t)$, where ${}_{0}^{\>i}{\cal O}_{t}^{1+\alpha}$ is one of the fractional differential operators ${}_{0}D_{t}^{\alpha}(x^{\prime})$, $({}_{0}D_{t}^{\alpha}x)^{\prime}={}_{0}D_{t}^{1+\alpha}x$ and ${}_{0}D_{t}^{\alpha}(tx^{\prime}-x)$. Here, ${}_{0}D_{t}^{\alpha}$ designates the Riemann-Liouville derivative of order $\alpha\in(0,1)$. The asymptotic formula reads as $[a+O(1)]\cdot x_{{\scriptstyle small}}+b\cdot x_{{\scriptstyle large}}$ as $t ightarrow+\infty$ for given $a$, $b\in\mathbb{R}$, where $x_{{\scriptstyle small}}$ and $x_{{\scriptstyle large}}$ represent the eventually small and eventually large solutions that generate the solution space of the fractional differential equation ${}_{0}^{\>i}{\cal O}_{t}^{1+\alpha}x=0$, $t>0$.

研究の動機と目的

• 変数係数をもつ (1+α)-階分数階微分方程式の解について、長期的な漸近的公式を導出すること。
• 古典的な漸近的積分理論を分数階微分作用素へと拡張すること。
• 同次方程式の基本解を用いて解の漸近的挙動を特徴づけること。
• $a(t)$ に課される条件を特定し、$[a + O(1)] \cdot x_{\text{small}} + b \cdot x_{\text{large}}$ の形の漸近展開の存在を保証すること。

提案手法

• $[t, \infty)$ 上でのFDEの積分により、ボルテラ型積分方程式が得られる形式的導出。
• 収束を保証する重み付きsupノルムを備えた連続関数の完備距離空間の定義。
• バナッハの不動点定理を適用し、解に対応する不動点の存在と一意性を証明。
• リーマン＝リウビル分数階微分とベータ関数を含む積分変換を用いて、解の表現を導出。
• $^{1+\alpha}_t$ 作用素の3通りの因数分解に対応する3つの異なる積分作用素の構成：$^1O^{1+\alpha}_t$、$^2O^{1+\alpha}_t$、$^3O^{1+\alpha}_t$。
• $a(t)$ に対する境界評価、特に $[T, \infty)$ 上での $s^{1+\alpha}|a(s)|$ および $s^\alpha|a(s)|$ の可積分性を用いて、収縮条件の検証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数 $a(t)$ にどのような条件を課せば、(1+α)-階FDE $^iO^{1+\alpha}_t x + a(t)x = 0$ の解が $t \to +\infty$ において漸近展開をもつのか？
• RQ2 同次方程式 $^iO^{1+\alpha}_t x = 0$ の基本解の線形結合によって、解が漸近的に近似可能か？
• RQ3 漸近公式における誤差項は一般に $O(1)$ である必要があるのか、それともより強い条件下で $o(1)$ に改善可能か？
• RQ4 異なる $^{1+\alpha}_t$ 作用素の因数分解は、漸近的解の構造にどのように影響を与えるか？

主な発見

• $^1O^{1+\alpha}_t$ に対して、$\int_T^\infty s^{1+\alpha}|a(s)|ds < \infty$ および $a(s)$ のノルム条件のもとで、解は $x(t) = a + bt^\alpha + O(t^{\alpha-1})$ を満たし、$O(1)$ 項は $o(1)$ に改善可能である。
• $^2O^{1+\alpha}_t$ に対して、同様の可積分性およびノルム条件のもとで、解は $x(t) = bt^\alpha + O(t^{\alpha-1})$ のように振る舞い、$O(1)$ 項は一般に $o(1)$ に改善できない。
• $^3O^{1+\alpha}_t$ に対して、$\int_0^\infty t|a(t)|dt < \infty$ および $\chi = \sup_{t>0} t^{1-\alpha} \int_0^t |a(s)|/(t-s)^{1-\alpha} s^{1-\alpha} ds$ の条件のもとで、解は $x(t) = [a + O(1)]t^{\alpha-1} + bt$ を満たし、一般に $O(1)$ 項は $o(1)$ に改善できない。
• 漸近的公式 $[a + O(1)] \cdot x_{\text{small}} + b \cdot x_{\text{large}}$ は、3つの作用素タイプすべてに適用可能であり、$x_{\text{small}}$ と $x_{\text{large}}$ は同次方程式の基本解である。
• 漸近的公式におけるLandau記号 $O(1)$ を $o(1)$ に置き換えることは、一般に不可能である。これは $x' \in L^1$ が成り立たず、特定の特異積分が発散するためである。
• 不動点法により、重み付き関数空間内に解が正しく構成され、収縮定数は $a(t)$ の減衰および可積分性の性質に依存する。