[論文レビュー] Asymptotic Intermediate Efficiency of the Chi-square and Likelihood Ratio Goodness of Fit Tests

Sherzod M. Mirakhmedov|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2016

Advanced Statistical Methods and Models参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、観測数とグループ数が比例して増加するグループ化データにおいて、局所代替仮説の下でカイ二乗検定および尤度比検定の漸近的中間効率（AIE）を分析している。正則性条件の下で、両検定が同じAIEに達することを確立し、観測数とグループ数が増加する際の局所的乖離の検出において両者の同等性を確認している。

ABSTRACT

The problem of testing the goodness of fit of an absolutely continuous distribution to a set of observations grouped into equal probability intervals, against to a family of sequences of alternatives approaching the hypothesis is considered. We focus our study to the asymptotic intermediate efficiency (AIE) due to Inglot (1999) of the chi-squared and log-likelihood ratio tests. It is assumed that the number of groups increases together with the number of observations.

研究の動機と目的

• 適合度検定におけるカイ二乗検定および尤度比検定の漸近的中間効率（AIE）を評価すること。
• 標本サイズに比例して増加するグループ数におけるこれらの検定の挙動を検討すること。
• 帰無仮説に近づく系列の局所代替仮説の下での両検定の相対的性能を評価すること。
• 両検定が同一のAIEに達する条件を確立し、局所的乖離の検出における漸近的同等性を確認すること。

提案手法

• 分析は、Inglot（1999）が定義した漸近的中間効率（AIE）の枠組みに基づき、局所代替仮説を焦点として行っている。
• データは等確率区間へグループ化され、期待セル度数が標本サイズに応じて増加するように保証されている。
• グループ数は標本サイズに比例して増加し、nおよびk（グループ数）が両方とも無限大に近づくバランスの取れた漸近的状態を維持している。
• 局所代替仮説の下での検定統計量の漸近的分布は、局所漸近正規性およびスコアに基づく近似を用いて導出されている。
• AIEは、特定の正規化の下で、検定の局所漸近的パワーと最適検定のパワーの比の極限として計算されている。
• 両検定のスコア統計量を局所代替仮説の下で漸近展開し、比較することで、AIEの同等性が確立されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所代替仮説の下で、カイ二乗検定と尤度比検定の漸近的中間効率（AIE）はどのように比較されるか？
• RQ2 観測数とグループ数が増加する際、両検定のAIEの極限的挙動はいかなるものか？
• RQ3 カイ二乗検定と尤度比検定が同じAIEに達する正則性条件は何か？
• RQ4 データを等確率区間にグループ化することは、両検定の漸近的同等性に影響を与えるか？
• RQ5 検定統計量の選択は、適合度設定における局所的乖離の検出にどのように影響するか？

主な発見

• カイ二乗検定と尤度比検定は、同じ正則性条件下で同一の漸近的中間効率（AIE）に達する。
• 観測数とグループ数が比例して増加する際、両検定のAIEは同じ極限値に収束する。
• データが等確率区間にグループ化されても、両検定のAIEの同等性は保たれ、漸近的効率性が維持される。
• 局所代替仮説の下で、両検定統計量の漸近的分布は、極限において同じ分散を持つ正規分布に従う。
• 結果から、考慮された漸近的状態において、尤度比検定がカイ二乗検定を上回るAIEを持たないことが確認された。
• これらの発見は、大標本かつグループ化データの設定において、カイ二乗検定が尤度比検定の有効かつ効率的な代替手段であることを支持している。