[論文レビュー] Asymptotic isoperimetry on groups and uniform embeddings into Banach spaces

Romain Tessera|ArXiv.org|Mar 6, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、可解な連結リー群や双曲的群を含む広範な群のクラスについて、$L^p$-空間への一様埋め込みの漸近的圧縮率を特徴づけている。$L^p$-等周的プロファイルの球内における漸近的下界を用いて、アフィン等長作用を構成することで、これらの群に対してヒルベルト圧縮率が1であることを証明し、無限大の3正則木の$L^p$-空間への埋め込みについても最適な推定を与える。

ABSTRACT

We characterize the asymptotic behaviour of the compression associated to a uniform embedding into some Lp-space for a large class of groups including connected Lie groups with exponential growth and word-hyperbolic finitely generated groups. In particular, the Hilbert compression rate of these groups is equal to 1. This also provides new and optimal estimates for the compression of a uniform embedding of the infinite 3-regular tree into some Lp-space. The main part of the paper is devoted to the explicit construction of affine isometric actions of amenable Lie groups on Lp-spaces whose compressions are asymptotically optimal. These constructions are based on an asymptotic lower bound of the Lp-isoperimetric profile inside balls. We compute this profile for all amenable connected Lie groups and for all finite p, providing new geometric invariants of these groups. We also relate the Hilbert compression rate with other asymptotic quantities such as volume growth and probability of return of random walks.

研究の動機と目的

• 可解な連結リー群および指数的成長を示すワード双曲的有限生成群を含む広範な群クラスについて、$L^p$-空間への一様埋め込みの漸近的挙動を特徴づけること。
• 幾何的・解析的技法を用いて、無限大の3正則木の$L^p$-空間への埋め込みについて最適な圧縮推定を確立すること。
• 可解な連結リー群の$L^p$-空間へのアフィン等長作用を、球内における$L^p$-等周的プロファイルの漸近的挙動を活用して、漸近的に最適な圧縮を得られる形で構成すること。
• 体積成長やランダムウォークの帰還確率といった幾何的不変量とヒルベルト圧縮率との関係を明らかにすること。
• すべての$1 \leq p < \infty$に対して、$L^p$-等周的プロファイルの漸近的計算を通じて、可解な連結リー群の新しい幾何的不変量を提供すること。

提案手法

• 球内における$L^p$-等周的プロファイル$J_G^{b,p}$を導入し、比較推定を用いて最大$L^p$-圧縮関数$M\rho_{G,p}$と関係づける。
• 制御されたFølner対の列を用いて、可解群における$L^p$-等周的プロファイルの漸近的下界を導出する。
• 可解な連結リー群の$L^p$-空間への明示的なアフィン等長作用を、$L^p$-等周的プロファイルの漸近的挙動を活用することで構成する。
• ホルダーの不等式とワープド積$\mathbf{Z} \wr \mathbf{Z}$における語長の推定を用いて、圧縮関数の下界を導出する。
• 語長$\xi_j$を差分$\xi_{j+1} - \xi_j = \frac{1}{j^p} \frac{f(j)}{j}$で定義する列$\xi_j$を用いて、$\ell^p(T)$へのリプシッツ写像$F$を構築し、$\ell^p$-ノルムの成長を制御する。
• $\int_1^\infty \left( \frac{f(t)}{t} \right)^p \frac{dt}{t} < \infty$という条件を用いて、所望の圧縮挙動を示す1-コサイクルの存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可解な連結リー群および双曲的群に対して、$L^p$-空間への一様埋め込みの$L^p$-圧縮の可能な漸近的挙動は何か？
• RQ2 球内における$L^p$-等周的プロファイルは、最大$L^p$-圧縮関数$M\rho_{G,p}$とどのように関係するか？
• RQ3 可解な連結リー群に対して、漸近的に最適な圧縮を得られる$L^p$-空間へのアフィン等長作用を構成できるか？
• RQ4 無限大の3正則木の$L^p$-空間への一様埋め込みにおける最適な圧縮率は何か？
• RQ5 ヒルベルト圧縮率は、体積成長およびこれらの群におけるランダムウォークの帰還確率とどのように関係するか？

主な発見

• クラス$(\mathcal{L})$に属するすべての群、特に可解な連結リー群およびワード双曲的有限生成群に対して、ヒルベルト圧縮率は正確に1である。
• $\mathbf{Z} \wr \mathbf{Z}$の最大$L^p$-圧縮関数は、すべての$1 \leq p < \infty$に対して$M\rho_{G,p}(t) \succeq t^{p/(2p-1)}$を満たす。
• 可解な連結リー群の球内における$L^p$-等周的プロファイルは、すべての$1 \leq p < \infty$に対して漸近的に計算され、新たな幾何的不変量が得られる。
• 任意の増加する非線形関数$h$に対して、積分条件$(C_p)$を満たす関数$f$が存在し、ある列$n_i$に対して$f(n_i) \geq c h(n_i)$となるようにできる。これにより、ラクナリ圧縮を持つコサイクルの構成が可能になる。
• 無限大の3正則木の$L^p$-空間への圧縮は、$\|F(x) - F(y)\ olimits_p^p \geq \sum_{j=0}^n \xi_j^p$を満たすリプシッツ写像$F$を用いて最適に推定される。ここで$\xi_j$は$f(j)/j$に比例して増加する。
• ヒルベルト圧縮率は体積成長およびランダムウォークの帰還確率と関係しており、本稿では$M\rho_{G,2}$の漸近的挙動を通じてその関係を確立する。