[論文レビュー] Asymptotic K-theory for groups acting on $ ildeA_2$ buildings

Guyan Robertson, Tim Steger|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2000

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、$\widetilde{A}_2$ ビルディング上で自由に作用する torsion-free ラティス $\Gamma$ に関連する交叉積 $C^*$-代数 $\mathcal{A}(\Gamma) = C(\Omega) \rtimes \Gamma$ の $K$-理論を、高ランク Cuntz-Krieger 代数の構造を用いて計算する。$q \not\equiv 1 \pmod{3}$ のとき $[\mathbf{1}] \in K_0(\mathcal{A}(\Gamma))$ は位数 $q-1$ の torsion 要素であり、$q \equiv 1 \pmod{3}$ のときには位数 $(q-1)/3$ であることが示され、このような代数の完全な分類不変量が得られる。

ABSTRACT

Let $Γ$ be a torsion free lattice in $G=\PGL(3,{\mathbb F})$ where ${\mathbb F}$ is a nonarchimedean local field. Then $Γ$ acts freely on the affine Bruhat-Tits building ${\mathcal B}$ of $G$ and there is an induced action on the boundary $Ω$ of ${\mathcal B}$. The crossed product $C^*$-algebra ${\mathcal A}(Γ)=C(Ω) times Γ$ depends only on $Γ$ and is classified by its K-theory. This article shows how to compute the K-theory of ${\mathcal A}(Γ)$ and of the larger class of rank two Cuntz-Krieger algebras.

研究の動機と目的

• 自由に作用する torsion-free ラティス $\Gamma$ に対して、$\widetilde{A}_2$ ビルディング上で定義される交叉積 $C^*$-代数 $\mathcal{A}(\Gamma) = C(\Omega) \rtimes \Gamma$ の $K$-理論を計算すること。
• 特に $K_0(\mathcal{A}(\Gamma))$ 内の単位元の類 $[\mathbf{1}]$ の位数に注目し、その $K$-理論によるこのような代数の分類を行うこと。
• $C^*_r(\Gamma)$ が同型でない場合でも、$\mathcal{A}(\Gamma)$ の $K$-理論が非同型なラティスを区別できることを示すこと。
• $q \neq 2,4$ のとき、$K_0$ に torsion が存在することにより、$\mathcal{A}(\Gamma)$ がいかなるランク1 Cuntz-Krieger 代数とも同型でないことを確立すること。

提案手法

• $\mathcal{A}(\Gamma)$ が高ランク Cuntz-Krieger 代数であること、したがって純粋に無限大、単純、核型であり、$\mathbb{Z}^2$ による AF 代数の交叉積と安定同型であることに着目する。
• [RS2] の構造理論を適用し、$\mathcal{A}(\Gamma)$ が $\mathcal{F} \rtimes \mathbb{Z}^2$ と安定同型であるとし、ここで $\mathcal{F} = \varinjlim \mathcal{C}^{(m)}$ で $\mathcal{C}^{(m)} \cong \bigoplus_{a \in A} \mathcal{K}(\mathcal{H}_a)$ である。
• ビルディングの幾何構造を符号化するインシデント行列 $M_1, M_2$ を用いて、行列 $\begin{smallmatrix} I - M_1, & I - M_2 \end{smallmatrix}$ の余核を通じて $K_0(\mathcal{A}(\Gamma))$ を計算する。
• $[\mathbf{1}] \in K_0(\mathcal{A}(\Gamma))$ を余核上での $\sum_{a \in A} e_a$ の像と特定し、$\mathbb{Z}/(q^2 - 1)\mathbb{Z}$ へのホモモーフィズムを用いてその位数を分析する。
• インシデント関係の組み合わせ的数え上げを用いる：各 $[\mathbf{1}_a]$ は $q^2$ 個の項 $[\mathbf{1}_b]$ の和として表され、$[\mathbf{1}] = q^2 [\mathbf{1}]$ という関係が得られ、したがって $(q^2 - 1)[\mathbf{1}] = 0$ となる。
• 位数の計算のため、$\gcd(q^2 - 1, 3(q+1))$ を計算し、$q \bmod 3$ に応じて $q-1$ または $(q-1)/3$ が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\Gamma$ が $\widetilde{A}_2$ ビルディング上で自由に作用する torsion-free ラティスであるとき、交叉積 $C^*$-代数 $\mathcal{A}(\Gamma) = C(\Omega) \rtimes \Gamma$ の $K$-理論は何か？
• RQ2 $K_0(\mathcal{A}(\Gamma))$ 内の類 $[\mathbf{1}]$ の位数は、ビルディングの位数 $q$ にどのように依存するか？
• RQ3 減少群 $C^*$-代数 $C^*_r(\Gamma)$ が同型でない場合でも、$\mathcal{A}(\Gamma)$ の $K$-理論が非同型なラティス $\Gamma$ を区別できるか？
• RQ4 $q \neq 2,4$ のとき、$\mathcal{A}(\Gamma)$ はランク1 Cuntz-Krieger 代数と同型であるか？
• RQ5 $\Gamma$ が位数 $q$ の $\widetilde{A}_2$ ビルディング上で作用するとき、$K_0(\mathcal{A}(\Gamma))$ 内の単位元類 $[\mathbf{1}]$ の正確な位数は何か？

主な発見

• $[\mathbf{1}] \in K_0(\mathcal{A}(\Gamma))$ は $(q^2 - 1)[\mathbf{1}] = 0$ を満たし、torsion 要素であることが示された。
• $q \not\equiv 1 \pmod{3}$ のとき、$[\mathbf{1}]$ の位数は正確に $q - 1$ である。$q \equiv 1 \pmod{3}$ のとき、位数は正確に $(q - 1)/3$ である。これは計算的証拠と構造的解析に基づく。
• $q = 2$ のとき、$[\mathbf{1}] = 0$ である。$q = 3$ のとき、$[\mathbf{1}]$ は位数 2 を持つ。
• $q \neq 2, 4$ のとき、$K_0$ に torsion が存在するため、代数 $\mathcal{A}(\Gamma)$ はいかなるランク1 Cuntz-Krieger 代数とも同型でない。
• $\mathrm{PGL}(3, \mathbb{Q}_2)$ 内の非同型な torsion-free ラティスの2つについて、$K_0(\mathcal{A}(\Gamma))$ はそれらを区別できるが、それらの減少群 $C^*$-代数の $K$-理論は同型である。
• $q = 2$ のときの群 B.3 は、8つの同様の群の中で唯一 $K_0(\mathcal{A}(\Gamma))$ が torsion-free であるため、このような群はまれであると考えられる。